[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:38|3|0]]

misure delle grandezze di una specie qualunque.	comuni alle misure delle grandezze di una specie qualsiasi.
Osserviamo che, se ${\displaystyle F}$ è una figura piana, la quale contiene un poligono ${\displaystyle p}$ ed è a sua volta contenuta in un altro poligono ${\displaystyle P}$, e se ${\displaystyle F}$ possiede un’area che goda di proprietà analoghe alle precedenti, bisognerà che tale area di ${\displaystyle F}$ sia definita come un numero non minore dell’area di ${\displaystyle p}$, nè maggiore dell’area di ${\displaystyle P}$.	Osserviamo che, se ${\displaystyle F}$ è una figura solida qualsiasi, la quale contiene un pluricilindro ${\displaystyle p}$ ed è a sua volta contenuta in un altro pluricilindro ${\displaystyle P}$, e se ${\displaystyle F}$ possiede un volume che goda di proprietà analoghe alle precedenti, bisogna che tale volume di ${\displaystyle F}$ sia definito come un numero non minore del volume di ${\displaystyle p}$, nè maggiore del volume di ${\displaystyle P}$.
Guidati da questa osservazione noi converremo di parlare di area di una figura piana ${\displaystyle F}$ soltanto se esistono tanto dei poligoni ${\displaystyle p}$ tutti contenuti in ${\displaystyle F}$, quanto dei poligoni ${\displaystyle P}$ contenenti ${\displaystyle F}$[1].	Guidati da questa osservazione noi converremo di parlare di volume di una figura solida ${\displaystyle F}$ soltanto se esistono tanto dei pluricilindri ${\displaystyle p}$ tutti contenuti in ${\displaystyle F}$, quanto dei pluricilindri ${\displaystyle P}$ contenenti ${\displaystyle F}$[1].
E per area di ${\displaystyle F}$ intenderemo un numero che non sia minore delle aree di un ${\displaystyle p}$, nè maggiore delle aree di un ${\displaystyle P}$. In altre parole l’area di ${\displaystyle F}$ dovrà almeno essere uguale al limite superiore ${\displaystyle \lambda }$ delle aree dei ${\displaystyle p}$ e al più essere uguale al limite inferiore ${\displaystyle \Lambda }$ delle aree dei ${\displaystyle P}$. (È evidentemente ${\displaystyle \lambda \leq \Lambda }$).	E per volume di ${\displaystyle F}$ intenderemo un numero che non sia minore del volume di un ${\displaystyle p}$, nè maggiore del volume di alcun ${\displaystyle P}$. In altre parole il volume di ${\displaystyle F}$ dovrà almeno essere uguale al limite superiore ${\displaystyle \lambda }$ dei volumi dei ${\displaystyle p}$ e al più essere uguale al limite inferiore ${\displaystyle \Lambda }$ dei volumi dei ${\displaystyle P}$. (È evidentemente ${\displaystyle \lambda \leq \Lambda }$).
Ma noi vogliamo che l’area di ${\displaystyle F}$ sia completamente determinata da ${\displaystyle F}$[2]. Il caso più elementare in cui questo avviene (Peano-Jordan) è il caso che ${\displaystyle \lambda =\Lambda }$, ossia che le aree dei ${\displaystyle p}$ e quelle dei ${\displaystyle P}$ formino due classi contigue. In questo caso (che è l’unico considerato in questo	Ma noi vogliamo che il volume di ${\displaystyle F}$ sia completamente determinato da ${\displaystyle F}$[2]. Il caso più elementare in cui questo avviene (Peano-Jordan) è il caso che ${\displaystyle \lambda =\Lambda }$ ossia che i volumi dei ${\displaystyle p}$ e quelli dei ${\displaystyle P}$ formino due classi contigue. In questo caso (che è l’unico considerato

1. 1 2 Cioè ogni punto interno a ${\displaystyle p}$ è interno ad ${\displaystyle F}$, ed ogni punto interno ad ${\displaystyle F}$ è interno a ${\displaystyle P}$.
2. 1 2 Naturalmente se è prefissata l’unità di misura.