[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:385|3|0]]Così, p. es., si trovino le soluzioni di

Le soluzioni della ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}}$, ossia della ${\displaystyle {\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}}$ sono quelle tali che ${\displaystyle \log \,y=\log \,x+{\text{cost.}}}$, ossia tali che ${\displaystyle {\frac {y}{x}}={\text{cost}}.}$ Le funzioni ${\displaystyle f}$ cercate sono tutte e sole le funzioni di ${\displaystyle {\frac {y}{x}}}$, come è facile verificare.

Posto ${\displaystyle \varphi =\log \,|f|-n\log |x|}$, tale equazione diventa ${\displaystyle x{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+y{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0}$. Perciò ${\displaystyle \varphi (x,y)=\log |f(x,y)|-n\log |x|=\log \left|{\frac {f(x,y)}{x^{n}}}\right|}$ è funzione del rapporto ${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$. Altrettanto avverrà di ${\displaystyle F=e^{\varphi }=\left|{\frac {f(x,y)}{x^{n}}}\right|}$. Perciò ${\displaystyle f(x,y)=x^{n}F\left({\frac {x}{y}}\right)}$. In tal caso si dice che ${\displaystyle f}$ è funzione omogenea di grado n, perchè, moltiplicando x ed y per una stessa costante h, la ${\displaystyle \mathrm {f(x,y)} }$ resta moltiplicata per ${\displaystyle \mathrm {h^{0}} }$. Più in generale le soluzioni ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},.....x_{n})}$ dell'equazione ${\displaystyle \Sigma _{i}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x}}=nf}$ sono tutte e sole le funzioni omogenee di grado ${\displaystyle n}$ delle ${\displaystyle x}$, cioè le funzioni del tipo ${\displaystyle x_{i}^{n}\,\varphi \left({\frac {x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{3}}{x_{1}}},.....,{\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)}$. Infatti se consideriamo ${\displaystyle f}$ come funzioni delle variabili ${\displaystyle \xi _{1}=x_{1}}$; ${\displaystyle \xi _{2}={\frac {x_{2}}{x_{1}}}x}$; ${\displaystyle \xi _{3}={\frac {x_{3}}{x_{1}}}}$; .....; ${\displaystyle \xi _{n}={\frac {x_{n}}{x_{1}}}}$, la nostra equazione diventa ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \xi _{1}}}={\frac {n}{\xi _{1}}}f}$, donde ${\displaystyle {\frac {\partial \,\log |f|}{\partial \xi _{1}}}={\frac {n}{\xi _{1}}}}$; ${\displaystyle \log \,|f|=n\,\log \,|\xi _{1}|+\varphi }$; ${\displaystyle f=\xi _{1}^{n}\varphi _{1}[\psi =\log |\varphi |]}$ dove ${\displaystyle psi}$ (e quindi anche ${\displaystyle \varphi }$) sono costanti rispetto alla ${\displaystyle \xi _{1}}$, e ciop sono funzioni delle sole ${\displaystyle \xi _{2},\xi _{3},.....\xi _{n}}$.

${\displaystyle \alpha }$) Sia data l'equazione lineare^[1] del primo ordine omogenera^[2]

                                                  ${\displaystyle y'=P(x)y}$,                    (1)

dove ${\displaystyle P(x)}$ è una funzione continua della ${\displaystyle x}$. Dividendo per ${\displaystyle y}$ (supposto per un momento diverso da zero) se ne deduce

È perciò ${\displaystyle \log |y|=\int \,P(x)dx+C'}$, e quindi ${\displaystyle |y|=C^{C'+\int P(x)dx}}$

(${\displaystyle C'=}$ cost. arbitraria).

1. ↑ Lineare perchè di primo grado nella ${\displaystyle y}$ e derivata ${\displaystyle y'}$.
2. ↑ Omogenea perchè mancano termini di grado zero nelle ${\displaystyle y,y'}$. Vi è invece un tale termine ${\displaystyle Q(x)}$ nell'equazione che trattiamo in ${\displaystyle beta}$.