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Sia ${\displaystyle C}$ un cilindro avente per base una figura piana ${\displaystyle F}$ e per altezza un segmento di misura ${\displaystyle h}$^[1]. Chiameremo volume di ${\displaystyle C}$ un numero maggiore dei volumi dei prismi di uguale altezza ${\displaystyle h}$ aventi per base un poligono ${\displaystyle p}$ (prismi che sono contenuti in ${\displaystyle C}$)

È poi evidente che l’area così definita gode delle proprietà enunciate sopra a pagina 21[2].	È poi evidente che il volume così definito gode delle proprietà enunciate sopra a pagina 21[2].
Queste proprietà sono del resto insite nel fatto, che le precedenti considerazioni trattano il problema della misura di una classe particolare di grandezze.	Queste proprietà sono del resto insite nel fatto, che le precedenti considerazioni trattano il problema della misura di una classe particolare di grandezze.
Se invece fosse ${\displaystyle \Lambda >\lambda }$, il numero ${\displaystyle \Lambda }$ si potrebbe chiamare l’area esterna, il numero ${\displaystyle \lambda }$ l’area interna della figura considerata. Questi due numeri godono, come è evidente, di alcune, ma non di tutte le proprietà dell’area nel senso elementare (sopra definito) della parola. Noi lo proveremo nel modo esposto in fine al paragrafo.	Se invece fosse ${\displaystyle \Lambda >\lambda }$, il numero ${\displaystyle \Lambda }$ si potrebbe chiamare il volume esterno, il numero ${\displaystyle \lambda }$ il volume interno della figura considerata. Questi due numeri godono, come è evidente, di alcune, ma non di tutte le proprietà del volume nel senso elementare (sopra definito) della parola.
Sia ${\displaystyle C}$ un cilindro avente per base una figura piana ${\displaystyle F}$ e per altezza un segmento di misura ${\displaystyle h}$[3]. Chiameremo volume di ${\displaystyle C}$ un numero maggiore dei volumi dei prismi di uguale altezza ${\displaystyle h}$ aventi per base un poligono ${\displaystyle p}$ (prismi che sono contenuti in ${\displaystyle C}$)

1. ↑ È noto che, se ${\displaystyle \pi }$ è il piano della figura ${\displaystyle F}$, allora ${\displaystyle C}$ è il luogo dei punti posti da una stessa banda di ${\displaystyle \pi }$, i quali distino da ${\displaystyle \pi }$ non più di ${\displaystyle h}$, e che abbiano per proiezione su ${\displaystyle \pi }$ un punto di ${\displaystyle F}$.
2. 1 2 Infatti sia ${\displaystyle F}$, per esempio, una figura piana somma di due figure ${\displaystyle F_{1}}$, ${\displaystyle F_{2}}$ senza punti interni comuni. Tra i poligoni ${\displaystyle p}$ interni ad ${\displaystyle F}$ vi sono quelli (ad uno o più pezzi), che sono somma di un poligono ${\displaystyle p_{1}}$ relativo ad ${\displaystyle F_{1}}$ e di un poligono ${\displaystyle p_{2}}$ relativo ad ${\displaystyle F_{2}}$. Quindi il limite superiore ${\displaystyle \lambda }$ delle aree dei poligoni ${\displaystyle p}$ vale almeno la somma dei limiti superiori ${\displaystyle \lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}}$ delle aree dei poligoni ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}}$, cioè ${\displaystyle \lambda \geq \lambda _{1}+\lambda _{2}}$. Sia ${\displaystyle P_{1}}$ un poligono che contiene ${\displaystyle F_{1}}$ all’interno, e ${\displaystyle P_{2}}$ un poligono analogo per ${\displaystyle F_{2}}$; sia ${\displaystyle \pi }$ la parte comune. Il poligono ${\displaystyle P_{1}+P_{2}-\pi }$ contiene ${\displaystyle F}$ all’interno, ed è perciò un poligono ${\displaystyle P}$ relativo ad ${\displaystyle F}$. La sua area non supera la somma delle aree dei poligoni ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$. Perciò, sommando insieme l’area di un poligono ${\displaystyle P_{1}}$ con l’area di un poligono ${\displaystyle P_{2}}$, si trova un numero, che non è inferiore all’area di qualche poligono ${\displaystyle P}$ relativo alla figura ${\displaystyle F}$. Quindi il limite inferiore ${\displaystyle \Lambda }$ delle aree dei poligoni ${\displaystyle P}$ non può superare la somma ${\displaystyle \Lambda _{1}+\Lambda _{2}}$ dei limiti analoghi per ${\displaystyle F_{1}}$, ${\displaystyle F_{2}}$. Perciò ${\displaystyle \Lambda _{1}+\Lambda _{2}\geq \Lambda \geq \lambda \geq \lambda _{1}+\lambda _{2}}$. Poichè ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{1}}$, ${\displaystyle \lambda _{2}=\Lambda _{2}}$ per ipotesi, sarà ${\displaystyle \Lambda _{1}+\Lambda _{2}=\lambda _{1}+\lambda _{2}=\Lambda =\lambda }$, come volevasi provare.
3. ↑ È noto che, se ${\displaystyle \pi }$ è il piano della figura ${\displaystyle F}$, allora ${\displaystyle C}$ è il luogo dei punti posti da una stessa banda di ${\displaystyle \pi }$, i quali distino da ${\displaystyle \pi }$ non più di ${\displaystyle h}$, e che abbiano per proiezione su ${\displaystyle \pi }$ un punto di ${\displaystyle F}$.