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tali equazioni^[1] sono le

                    ${\displaystyle (x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}-R^{3}=0}$                                         (7)

                    ${\displaystyle (x_{0}-\xi )x'_{0}+(y_{0}-\eta )y'_{0}=0}$                                               (8)

                    ${\displaystyle (x_{0}-\xi ){x''}_{0}+(y_{0}-\eta ){y''}_{0}+{x'}_{0}^{2}+{y'}_{0}^{2}=0}$                   (9)

dove, per semplicità, abbiamo indicato con ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ le coordinate ${\displaystyle x(a),y(a)}$ di ${\displaystyle A}$, e con ${\displaystyle x'_{0},{x''}_{0},.....}$ i valori corrispondenti (per ${\displaystyle t=a}$ di ${\displaystyle x'(t),x''(t),.....}$

Il cerchio che ha il centro in ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ e il raggio ${\displaystyle R}$ definiti da queste equazioni si considererà come il cerchio limite del cerchio ${\displaystyle ABC}$ e si dirà il cerchio osculatore alla nostra curva nel punto ${\displaystyle A}$ di coordinate ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$.

Dalle (8), (9) si deducono i valori ${\displaystyle \xi ,\eta }$; donde per ${\displaystyle (7)sitraeilvaloredi<math>R}$. Sarà pertanto, abolendo per brevità l'indice ${\displaystyle 0}$,

          ${\displaystyle \xi =x-{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}y'}$   ;   ${\displaystyle \eta =y+{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}x'}$             (10)

                         ${\displaystyle B={\frac {({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}{|x'y''-x''y'|}}={\frac {({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}{x'y''-x''y'}}\epsilon }$                         (11)

ove ${\displaystyle \epsilon =+1}$, oppure ${\displaystyle \epsilon =-1}$ secondo che ${\displaystyle x'y''-x''y'}$ è positivo o negativo.

Le (10) si possono scrivere:

Ora la somma dei quadrati di ${\displaystyle \epsilon {\frac {y'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}}$ ed ${\displaystyle \epsilon {\frac {x'}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}}$ vale ${\displaystyle 1}$; esiste perciò un angolo ${\displaystyle \theta }$ tale che:

Questo angolo ${\displaystyle \theta }$ è dunque l'angolo che la direzione positiva dell'asse delle ${\displaystyle x}$ forma con la retta tangente: angolo che la

1. ↑ Le seguenti equazioni si esprimono per così dire, che ${\displaystyle t=a}$ sarà una radice almeno tripla dell'equazione ${\displaystyle [x(t)-\xi ]^{2}+[y(t)-\eta ]^{2}=R^{2}}$; ciò che si suol enunciare dicendo che il cerchio osculatore ad una curva ${\displaystyle C}$ in un suo punto ${\displaystyle A}$ è quel cerchio, che ha con la ${\displaystyle C}$ almeno un contatto tripunto nel punto ${\displaystyle A}$.