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a ${\displaystyle C_{1}}$, nel punto ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$. Ed è facile riconoscere che questa tangente a ${\displaystyle C_{1}}$ è normale alla curva ${\displaystyle C}$ descritta dal punto ${\displaystyle x,y}$. Infatti il coefficiente angolare della tangente a ${\displaystyle C}$ nel punto ${\displaystyle (x,y)}$ è data da ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$, che, in virtù delle equazioni citate, si riconosce uguale a ${\displaystyle {\text{tg}}\,\theta }$. Cosicchè si verifica appunto che le tangenti in ${\displaystyle (x,y)}$ a ${\displaystyle C}$ ed in ${\displaystyle (\xi ,\eta <)}$ a ${\displaystyle C_{1}}$ sono tra loro normali.

Supposto che la curva sia definita da una equazione ${\displaystyle y=f(x)}$, cioè dalle equazioni ${\displaystyle y=f(t),x=t}$, la (11) diventa, ricordando che ${\displaystyle x'=1,x''=0}$:

Questa formola è di uso frequente.

Se invece ${\displaystyle t=s}$, la (11) diventa

È molte volte comodo individuare una curva ${\displaystyle \Gamma }$, dando infinite linee ${\displaystyle C}$, tali che per ogni punto ${\displaystyle A}$ di ${\displaystyle \Gamma }$ passi una ${\displaystyle C}$ tangente in ${\displaystyle A}$ alla ${\displaystyle \Gamma }$.

Così, p. es., assai soesso si dà una curva ${\displaystyle \Gamma }$ definendo le rette ${\displaystyle C}$ tangenti a ${\displaystyle \Gamma }$ (si ricordi, p. es., l'equazione tangenziale di una conica ${\displaystyle \Gamma }$). Così assai soesso nelle scienze applicate a una curva ${\displaystyle \Gamma }$ si sostituisce una curva policentrica ${\displaystyle \Gamma '}$; si osserva cioè che ${\displaystyle \Gamma }$ è tangente a ciascuno dei suoi cerchi osclutaori ${\displaystyle C}$, e si sostituisce ala ${\displaystyle \Gamma }$ una curva ${\displaystyle \Gamma '}$ formata con un numero finito di archetti circolari: ognuno dei quali è un arco di un cerchio osculatore ${\displaystyle C}$^[1]. Infine la evoluta ${\displaystyle \Gamma }$ di una curva ${\displaystyle E}$ si può definire come la linea a cui sono tangenti le rette ${\displaystyle C}$ normali alla ${\displaystyle E}$.

Se, p. es., ${\displaystyle y=f(x)}$ è l'equazione di ${\displaystyle E}$, la retta ${\displaystyle C}$ normale alla ${\displaystyle E}$ nel punto di ascissa ${\displaystyle a}$ è definita dall'equazione:

1. ↑ Basterebbe ricorrere a cerchi soltanto tangenti.