[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:46|3|0]]Con questi successivi ampliamenti si era risoluto completamente il problema della misura delle grandezze (confronta i Capitoli 1° e 2°), si era resa possibile ogni sottrazione, ogni divisione per un numero non nullo, ogni estrazione di radice da un numero positivo, eccetera.

Mentre si è così ampliato assai il campo delle operazioni eseguibili, sono rimaste alcune operazioni che non sono eseguibili, nonostante l’avvenuto ampliamento del concetto di numero: l’estrazione di radice di indice pari da un numero negativo, la determinazione del logaritmo di un numero negativo, eccetera. A questo inconveniente si ripara estendendo ancora il concetto di numero. I nuovi numeri che noi introdurremo, sono però completamente inutili per il problema della misura delle grandezze, il quale è già stato completamente risoluto dai numeri già noti dalle matematiche elementari e che noi abbiamo chiamato numeri reali.

Noi diremo numero complesso, ed indicheremo con ${\displaystyle (a,b)}$ una coppia di numeri reali ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, che si seguano nell’ordine ora scritto.

Due numeri complessi ${\displaystyle (a,b)}$ ed ${\displaystyle (a',b')}$ si diranno uguali allora soltanto che ${\displaystyle a=a'}$, ${\displaystyle b=b'}$.

Il numero complesso ${\displaystyle (a,0)}$ s’intenderà come uguale al numero reale ${\displaystyle a}$^[1].

Il numero complesso ${\displaystyle (0,b)}$ si dirà puramente immaginario e s’indicherà con ${\displaystyle ib}$, indicando poi col solo simbolo ${\displaystyle i}$ il numero ${\displaystyle (0,1)}$, che chiameremo l’unità immaginaria.

Due numeri ${\displaystyle (a,b)}$ ed ${\displaystyle (a,-b)}$ si diranno complessi coniugati.

Somma dei numeri complessi ${\displaystyle (a,b)}$, ${\displaystyle (a',b')}$ si chiamerà il numero complesso ${\displaystyle (a+a',b+b')}$; questa definizione non contrasta con quella adottata per i numeri reali. Infatti, se ${\displaystyle (a,b)}$ e ${\displaystyle (a',b')}$ sono reali, ossia se ${\displaystyle b=b'=0}$, la loro somma (nel senso testè definito) è proprio uguale ad ${\displaystyle (a+a',0)}$, cioè ad ${\displaystyle a+a'}$. Si potrà perciò porre ${\displaystyle (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')}$ ed in particolare ${\displaystyle (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+ib}$. Perciò di solito il numero complesso ${\displaystyle (a,b)}$ si indica con ${\displaystyle a+ib}$.

La nostra definizione di somma di due numeri complessi si può quindi anche enunciare nel modo seguente: la somma dei numeri ${\displaystyle a+ib}$, ${\displaystyle a'+ib'}$ uguaglia ${\displaystyle (a+a')+i(b+b')}$.

La somma di due numeri ${\displaystyle a+ib}$, ${\displaystyle a-ib}$ immaginari coniugati è il numero reale ${\displaystyle 2a}$.

1. ↑ Ciò equivale a convenire che un numero reale ${\displaystyle a}$ si possa indicare col nuovo simbolo ${\displaystyle (a,0)}$; convenzione ben lecita, perchè ${\displaystyle (a,0)}$ è un simbolo affatto nuovo.