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Integrando la (1)_bis da $0$ a $2\pi$ , dopo averla moltiplicata per $1$ o per ${\text{cos}}\,mx$ o per ${\text{sen}}\,mx$ , supposto che le serie così ottenute sieno integrabili termine a termine, si avrà, ricordando le precedenti identità:

$\int _{0}^{2\pi }f(x)dx=\int _{0}^{2\pi }a_{0}\,dx+$

$+\sum _{1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,dx+b_{0}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{sen}}\,nx\,dx\right\}=2\,\pi \,a_{0}\,\,$ ^[1]

e per $m>0$ .

$\int _{0}^{2\pi }f(x)\,{\text{cos}}\,mx\,dx=\sum _{1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{cos}}\,mx\,dx\,+\right.$

$\left.+b_{n}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{sen}}\,nx\,{\text{cos}}\,mx\,dx\right\}=\pi \,a_{m}\,\,$ ^[2]

$\int _{0}^{2\pi }f(x)\,{\text{sen}}\,mx\,dx=\sum _{1}^{\infty }\left\{a_{n}\int _{0}^{2\pi }\,{\text{cos}}\,nx\,{\text{sen}}\,mx\,dx+\right.$

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle \left.+b_n\int_0^{2\\pi}\, \text{sen}\, nx\, \text{sen}\, mx\, dx\right\}=\pi\, b_m\, \, \, } ^[3]

Se ne deduce dunque nelle nostre ipotesi:

$m>0\,\,\,$ $\left.{\begin{matrix}a_{0}={\frac {1}{2\,\pi }}\int _{0}^{2\pi }\,f(x)dx\\a_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\,f(x)\,{\text{cos}}\,mx\,dx\\b_{m}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\,f(x)\,{\text{sen}}\,mx\ dx\end{matrix}}\right\}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ (2)

Noi ci chiediamo:

Quando avviene che sia vera la (1)_bis, ove alla $a_{i},b_{i}$ si diano i valori definiti dalla (2)?

Si può dimostrare (Dirichlet, Dini, Lebesgue) che ciò avviene in casi molto generali. Noi lo dimostreremo nel caso particolarissimo che le $f'(x),f''(x)$ esistano e siano continue e quindi limitate

↑ Si riconosce anche direttamente che tutti i membri del secondo membro sono nulli. Il primo eccettuato.
↑ In virtù delle identità scritte più sopra, nel secondo membro il coefficiente di $b_{n}$ è nullo, qualunque sia $m$ ; il coefficiente di $a_{n}$ è differente da zero (ed uguale a $\pi$ ) solo se $n=m$ .
↑ Si dimostra con metodo analogo a quello seguito per la formola precedente.

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[1] Si riconosce anche direttamente che tutti i membri del secondo membro sono nulli. Il primo eccettuato.

[2] In virtù delle identità scritte più sopra, nel secondo membro il coefficiente di $b_{n}$ è nullo, qualunque sia $m$ ; il coefficiente di $a_{n}$ è differente da zero (ed uguale a $\pi$ ) solo se $n=m$ .

[3] Si dimostra con metodo analogo a quello seguito per la formola precedente.

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