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il nostro teorema sarà dimostrato, sa riusciamo a dedurne che la ${\displaystyle \psi (x)=0.}$ Dalle (3) si sa che, qualunque siano le costanti ${\displaystyle b_{i},c_{i}}$, è:

e quindi, per il risultato dell'es. 15°, pag. 58, è:

se ${\displaystyle F(x)}$ è un qualsiasi polinomio nelle ${\displaystyle {\text{sen}}\,x,{\text{cos}}\,x}$ a coefficienti costanti. Supponiamo ora che la funzione (continua) ${\displaystyle \psi 8x)}$ sia differente da zero in un punto ${\displaystyle A}$; essa sarà pure differente da zero in tutto un intorno di ${\displaystyle A}$, p. es. nell'intervallo (${\displaystyle \alpha ,\beta }$), dove sarà, p. es., positiva, ossia avrà un minimo ${\displaystyle m}$ positivo. Vogliamo dimostrare che ciò è assurdo. Poniamo:

dove ${\displaystyle n}$ è un qualsiasi intero positivo. La espressione tra ${\displaystyle \left\{\,\,\,\right\}}$ supererà sempre ${\displaystyle -{\text{cos}}\,\left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)<-1}$ e sarà maggiore di ${\displaystyle 1}$ soltanto quando l'angolo ${\displaystyle x}$ varia nell'intervallo ${\displaystyle (\alpha ,\beta }$).

Indicheremo con ${\displaystyle N}$ il massimo finito della ${\displaystyle \psi (x)}$. L'intervallo ${\displaystyle (0,2\pi }$) si può decomporre nei seguenti intervalli parziali:

1° L'intervallo ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$.

2° Un intorno di ${\displaystyle \alpha }$ di lunghezza non superiore ad ${\displaystyle \epsilon ={\frac {m}{4N}}|\beta -\alpha |}$^[1].

3° Un intorno di ${\displaystyle \beta }$ di lunghezza non superiore ad ${\displaystyle \epsilon ={\frac {m}{4\,N}}|\beta -\alpha |}$^[2].

4° La parte residua di ${\displaystyle \gamma }$ di lunghezza

Nell'intervallo ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ è ${\displaystyle \psi (x)\geq m>0,F(x)>1}$; quindi l'integrale di ${\displaystyle \psi (x)F(x)}$ esteso a tele intervallo supera ${\displaystyle m|\beta -\alpha |}$.

1. ↑ Si suppongono questi intorni essere uno destro, l'altro sinistro, così, da essere entrambi esterni all'intervallo (${\displaystyle \alpha ,\beta }$).
2. ↑ Si suppongono questi intorni essere uno destro, l'altro sinistro, così, da essere entrambi esterni all'intervallo (${\displaystyle \alpha ,\beta }$).