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In generale, se ${\displaystyle a_{1}+ib_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}+ib_{2}}$, ....., ${\displaystyle a_{n}+ib_{n}}$ sono ${\displaystyle n}$ numeri complessi, noi diremo che

è la loro somma.

Così pure si chiamerà differenza dei due numeri complessi ${\displaystyle a+ib}$, ${\displaystyle a'+ib'}$ quel numero ${\displaystyle (a-a^{\prime })+i(b-b^{\prime })}$ che, sommato con ${\displaystyle a^{\prime }+ib^{\prime }}$, riproduce il numero ${\displaystyle a+ib}$.

È ben evidente da quanto precede che per la somma e la sottrazione di uno o più numeri complessi valgono le ordinarie regole del calcolo algebrico.

Porremo, per definizione, uguale a ${\displaystyle -1}$ il prodotto di i per i, ossia il quadrato di i ed uguale ad ia il prodotto di i per il numero reale a^[1].

Prodotto di due numeri complessi ${\displaystyle {\text{a}}+{\text{ib}}}$, ${\displaystyle {\text{c}}+{\text{id}}}$ si chiamerà il numero che si ottiene facendo la moltiplicazione con le abituali regole dell'algebra.

Si avrà così per definizione:

ossia, poichè per definizione ${\displaystyle i^{2}=-1}$,

Se ${\displaystyle b=d=0}$, il prodotto così definito coincide proprio con ${\displaystyle ac}$; la nostra definizione non è dunque contraddittoria con la definizione dell’algebra elementare. E, se ${\displaystyle b=0}$, e ${\displaystyle c+id=i}$ (se è cioè ${\displaystyle c=0}$, ${\displaystyle d=1}$), tale prodotto di ${\displaystyle i}$ per il numero reale ${\displaystyle a}$ si riduce appunto ad ${\displaystyle ia}$, come richiede anche la convenzione preliminare.

Si noti che il prodotto di due numeri ${\displaystyle a+ib}$, ${\displaystyle a-ib}$ immaginari coniugati vale ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ed è perciò sempre reale positivo (nullo soltanto se ${\displaystyle a=b=0}$).

Prodotto di tre numeri complessi è per definizione il prodotto che si ottiene moltiplicando il prodotto dei primi due fattori per il terzo: facilmente si estende la definizione al prodotto di ${\displaystyle n}$ fattori.

Si dimostra facilmente:

1. ↑ Che ciò sia logicamente lecito è ben evidente. Per esempio il prodotto di i per i è una frase nuova, che per la prima volta incontriamo. Siamo padroni di darle quel significato che più ci piace, così come siamo padroni di introdurre un nuovo vocabolo nella lingua italiana, dandogli un significato a nostro arbitrio.