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${\displaystyle \alpha }$) Le funzioni ${\displaystyle e^{x},{\text{cos}}\,z,{\text{sen}}\,z}$ sono definite per tutti i valori della ${\displaystyle z}$ da una serie di potenze, e si possono considerare perciò funzioni della ${\displaystyle z}$, anche se ${\displaystyle z}$ è complesso.

${\displaystyle \beta }$) DImostriamo che anche una funzione razionale, cioè un quoziente di polinomi di una variabile ${\displaystyle z}$ è pure una funzione della variabile ${\displaystyle z}$, cioè è sviluppabile in serie di potenze. Se noi introduciamo nei calcoli anche numeri complessi, l'enunciato del teor. a pag. 250-251 si può semplificare provando che ogni frazione ${\displaystyle {\frac {P(z)}{Q(z)}}}$ è somma di un polinomio, di frazioni semplici del tepi ${\displaystyle {\frac {A}{z-a}}}$^[1] e dalla derivata di un'altra frazione ${\displaystyle {\frac {V(z)}{W(z)}}}$. Applicando a quest'ultima lo stesso teorema, e così continuando, si prova che ogni frazione ${\displaystyle {\frac {,}{A}}{z-a}}$, e di derivate di tali frazioni semplici.

Basterà dunque provare che ${\displaystyle {\frac {A}{z-a}}}$, o, ciò ch'è lo stesso, che ${\displaystyle {\frac {1}{z-a}}}$ è sviluppabile in serie di potenze. Se ${\displaystyle z_{0}\not =a}$ è un numero qualsiasi, si ha appunto (per la nota formola delle progressioni geometriche)

nel cerchio definito dalla: ${\displaystyle |z-z_{0}|<|a-z_{0}|}$, cioè entro il cerchio di centro ${\displaystyle z_{0}}$, la cui periferia passa per il punto ${\displaystyle a}$.

1. ↑ La dimostrazione del § 76 continua a valere, se ad una frazione del ripo ${\displaystyle {\frac {Mx+N}{x^{2}+px+q}}}$ (il cui denom., uguagliato a zero, abbia radici complesse ${\displaystyle b,c}$) sostituiamo una espressione del tipo ${\displaystyle {\frac {B}{x-b}}+{\frac {C}{z-c}}}$ (con ${\displaystyle B,C}$ costanti).