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2° Il prodotto di un numero complesso ${\displaystyle N}$ per la somma ${\displaystyle S}$ di più numeri complessi è uguale alla somma dei prodotti di ${\displaystyle N}$ per ciascuno degli addendi di ${\displaystyle S}$.

3° Se ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dotsc ,\alpha _{m}}$ e ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\dotsc ,\beta _{n}}$ sono più numeri complessi, il prodotto ${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\dotsc \alpha _{m}\beta _{1}\beta _{2}\dotsc \beta _{n}}$ si ottiene moltiplicando il prodotto ${\displaystyle \alpha _{1}\alpha _{2}\dotsc \alpha _{m}}$ per il prodotto ${\displaystyle \beta _{1}\beta _{2}\dotsc \beta _{n}}$.

Valgono cioè anche per la moltiplicazione dei numeri complessi le regole del calcolo algebrico elementare.

Quoziente dei numeri ${\displaystyle {\text{a}}+{\text{ib}}}$, ${\displaystyle {\text{c}}+{\text{id}}}$ si dirà quel numero ${\displaystyle {\text{x}}+{\text{iy}}}$ il cui prodotto con ${\displaystyle {\text{c}}+{\text{id}}}$ riproduce il numero ${\displaystyle {\text{a}}+{\text{ib}}}$ quando ${\displaystyle {\text{x}}+{\text{iy}}}$ esista e sia determinato.

I numeri ${\displaystyle x}$ ed ${\displaystyle y}$ sono perciò definiti dalle equazioni ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}xc-yd=a\\xd+yc=b\end{matrix}}\right\}}$, le quali determinano ${\displaystyle x}$ ed ${\displaystyle y}$ soltanto se ${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$ è differente da zero^[1], ossia se ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle d}$ non sono entrambe nulli, ossia se il divisore ${\displaystyle c+id}$ è differente da zero; questa limitazione (che il divisore sia differente da zero) è la stessa che si presenta nel campo dei numeri reali.

Fig. 8. ${\displaystyle \beta }$) I numeri reali si rappresentano coi punti di una retta, i numeri complessi ${\displaystyle a+ib}$ si rappresentano assai spesso coi punti di un piano, ove sia fissato un sistema di coordinate ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ cartesiane ortogonali (figura 8): il punto ${\displaystyle A}$, che ha per ascissa ${\displaystyle a}$ e per ordinata ${\displaystyle b}$, si assume come immagine del numero ${\displaystyle a+ib}$. Se ${\displaystyle O}$ è l’origine delle coordinate cartesiane, se indicansi con ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \theta }$ le coordinate ${\displaystyle \rho =OA}$ e ${\displaystyle \theta =(x,\rho )}$ polari di ${\displaystyle A}$, sarà:

${\displaystyle a=\rho \cos \theta }$, ${\displaystyle b=\rho \operatorname {sen} \theta }$, ${\displaystyle \rho =|{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}|}$, ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{\rho }}}$, ${\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {b}{\rho }}}$, ${\displaystyle {\text{tg}}\;\theta ={\frac {b}{a}}}$; e quindi ${\displaystyle a+ib=\rho (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )}$.

1. ↑ Risolvendo, si trova infatti
   ${\displaystyle x={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\;,\;y={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.}$
   Se ${\displaystyle c^{2}+d^{2}=0}$, ossia se ${\displaystyle c=d=0}$, allora dovrebbe essere anche ${\displaystyle a=b=0}$. E in tal caso le ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ sono indeterminate.