[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:50|3|0]]${\displaystyle OA_{1}}$, ${\displaystyle A_{1}A_{3}}$. Poichè ${\displaystyle OA_{2}}$, ed ${\displaystyle A_{1}A_{3}}$ sono segmenti uguali ed ugualmente orientati, la proiezione di ${\displaystyle A_{1}A_{3}}$ è uguale a quella di ${\displaystyle OA_{2}}$; e quindi l’ascissa di ${\displaystyle A_{3}}$ uguaglia la somma delle proiezioni di ${\displaystyle OA_{1}}$, ${\displaystyle OA_{2}}$ sopra ${\displaystyle Ox}$, ossia la somma ${\displaystyle a_{1}+a_{2}}$, delle ascisse ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$ di ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$: in modo simile si prova che l’ordinata di ${\displaystyle A_{3}}$ è ${\displaystyle b_{1}+b_{2}}$.

Il lato ${\displaystyle OA_{3}}$ del triangolo ${\displaystyle OA_{1}A_{3}}$ è minore od uguale alla somma ${\displaystyle OA_{1}+A_{1}A_{3}}$ (l’uguaglianza avviene solo se il punto ${\displaystyle A_{1}}$ appartiene al segmento ${\displaystyle OA_{3}}$). Ma poichè ${\displaystyle A_{1}A_{3}=OA_{2}}$ ed i segmenti ${\displaystyle OA_{1}}$, ${\displaystyle OA_{2}}$, ${\displaystyle OA_{3}}$ sono i moduli dei numeri complessi dati e della loro somma, avremo che: Il modulo della somma di due (o più) numeri non supera la somma dei moduli, non è inferiore alla differenza dei moduli. Questo teorema è la generalizzazione di un teorema già dato per i numeri reali.

${\displaystyle \delta }$) Se ${\displaystyle n}$ è un intero positivo, con ${\displaystyle x^{n}}$ indicheremo, anche se ${\displaystyle x}$ è complesso, il prodotto di ${\displaystyle n}$ fattori uguali ad ${\displaystyle x}$ (ponendo poi ${\displaystyle x^{0}=1}$ se ${\displaystyle x\neq 0}$, e ${\displaystyle x^{1}=x}$) e con ${\displaystyle x^{-n}}$ il quoziente ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x^{n}}}}$ (se ${\displaystyle x\neq 0}$). Se ${\displaystyle m}$ è intero, il modulo di ${\displaystyle x^{m}}$ vale ${\displaystyle |x|^{m}}$ (cioè il modulo della ${\displaystyle x}$ innalzato alla ${\displaystyle m^{esima}}$ potenza); e l’argomento di ${\displaystyle {\text{x}}^{\text{m}}}$ vale il prodotto di m per l’argomento della x.

Sia ${\displaystyle P(z)}$ un polinomio nella ${\displaystyle z}$ e precisamente

${\displaystyle P(z)=1+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\dotsb +b_{m}z^{m}}$ (le ${\displaystyle b}$ numeri non tutti nulli).

Sia ${\displaystyle b_{h}}$ la prima delle ${\displaystyle b}$ differente da zero. Sarà

${\displaystyle P(z)=1+b_{h}z^{h}+[b_{h}z^{h}]z\left({\frac {b_{h+1}}{b_{h}}}+{\frac {b_{h+2}}{b_{h}}}z+\dotsb +{\frac {b_{m}}{b_{h}}}z^{m-h-1}\right)}$.

Sia ${\displaystyle A}$ la massima delle ${\displaystyle \left|{\frac {b_{h+1}}{b_{h}}}\right|}$, ${\displaystyle \left|{\frac {b_{h+2}}{b_{h}}}\right|}$, ....., ${\displaystyle \left|{\frac {b_{m}}{b_{h}}}\right|}$. Siano ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \theta }$ modulo e argomento di ${\displaystyle b_{h}}$ e siano ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \delta }$ modulo e argomento della ${\displaystyle z}$. Sarà

cosicchè ${\displaystyle b_{h}z^{h}}$ sarà un numero reale negativo, se ${\displaystyle \theta +h\delta =\pi }$, cioè se ${\displaystyle \delta ={\frac {\pi -\theta }{h}}}$.

Sarà in tale ipotesi

^[1]

1. ↑ aventi la direzione dell’asse delle ${\displaystyle x}$ (in un verso o nell’altro), così i numeri complessi ${\displaystyle x+iy}$ possono servire a definire (e potremmo forse dire, ampliando il significato della parola, a misurare) le forze uscenti da un punto ${\displaystyle O}$ e poste nel piano ${\displaystyle xy}$, in guisa che alla forza risultante di due o più forze date corrisponda il numero complesso somma dei numeri complessi corrispondenti alle singole forze componenti. I numeri complessi trovano importantissime applicazioni nello studio delle correnti alternate: per esempio alle estensioni delle leggi di Ohm e di Kirchhoff.