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Estraendo le radici cubiche, si traggono i valori di ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ e si trova:

Ciascuna di queste radici cubiche ha tre valori; scelto, per esempio, per la prima uno di essi arbitrariamente tra i tre possibili, il valore da darsi alla seconda radice cubica è completamente determinato da ciò che il prodotto delle due radici cubiche (ossia ${\displaystyle uv}$) deve uguagliare ${\displaystyle -{\frac {p}{3}}}$.

Siano ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ due valori dei nostri radicali, il cui prodotto uguaglia ${\displaystyle -{\frac {p}{3}}}$. Se ${\displaystyle \varepsilon \neq 1}$ è una radice cubica di ${\displaystyle +1}$, la terza radice cubica di ${\displaystyle 1}$ sarà (come sì è visto al § 9) ${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon }}=\varepsilon ^{2}}$. I tre valori del primo radicale saranno: ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle \varepsilon a}$, ${\displaystyle \varepsilon ^{2}a}$; i valori corrispondenti del secondo saranno ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle \varepsilon ^{2}b}$, ${\displaystyle \varepsilon b}$, quindi la nostra equazione avrà le tre radici ${\displaystyle a+b}$, ${\displaystyle \varepsilon a+\varepsilon ^{2}b}$, ${\displaystyle \varepsilon ^{2}a+\varepsilon b}$ generalmente distinte. Se ${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}=0}$, allora posso supporre chiaramente^[1] ${\displaystyle a=b}$, e delle tre radici almeno le seconde due sono uguali tra loro.

Siano ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ reali; se ${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}>0}$ posso supporre ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ reali; delle tre radici, una è quindi reale, le altre due immaginarie coniugate. Invece, se ${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}<0}$ [per il che è necessario che ${\displaystyle {\frac {p^{3}}{27}}}$ sia minore di ${\displaystyle -{\frac {q^{2}}{4}}}$, e quindi che ${\displaystyle p}$ sia negativo (${\displaystyle p=-|p|}$)], le radici sono tutte e tre reali, nonostante che ${\displaystyle {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$ sia immaginario, come ora proveremo, Posto:

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}=-r^{2}}$

(${\displaystyle r}$ reale),

la nostra formola diventa:

1. ↑ Almeno, se ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ sono reali. Il lettore esamini il caso generale.