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Dividiamo	${\displaystyle M(x)}$	per	il	polinomio	${\displaystyle N(x)}$, sia ${\displaystyle R(x)}$	il	resto	della	div.
”	${\displaystyle N(x)}$	”	”	”	${\displaystyle R(x)}$, sia ${\displaystyle R_{1}(x)}$	”	”	” 2a	”
”	${\displaystyle R(x)}$	”	”	”	${\displaystyle R_{1}(x)}$, sia ${\displaystyle R_{2}(x)}$	”	”	” 3a	”
”	${\displaystyle R_{1}(x)}$	”	”	”	${\displaystyle R_{2}(x)}$, sia ${\displaystyle R_{3}(x)}$	il	resto;

così continuiamo fino a che si trovi un resto nullo; si dimostra (come si dimostra in aritmetica per i numeri intieri) che l’ultimo resto ottenuto differente da zero (lo stesso polinomio ${\displaystyle N(x)}$ se ${\displaystyle R(x)=0}$) è un divisore comune di ${\displaystyle M(x),N(x)}$ ed è anzi il ${\displaystyle M.C.D.}$^[1] di questi polinomii, perchè ogni divisore comune di ${\displaystyle M,N}$ è un divisore anche di quest’ultimo resto e viceversa.

Se questo massimo comune divisore è di grado zero (è costante), i due polinomi ${\displaystyle M,N}$ si dicono primi tra loro.

Se si vogliono cercare i divisori ${\displaystyle mx+n}$ di primo grado di un polinomio ${\displaystyle P(x)}$, si osserva che, se ${\displaystyle \left[x-\left(-{\frac {n}{m}}\right)\right]=x-\alpha \left({\text{essendo}}\,\alpha =-{\frac {n}{m}}\right)}$ è un divisore di ${\displaystyle P(x)}$, anche ${\displaystyle mx+n}$ è un divisore di ${\displaystyle P(x)}$ e viceversa.

La ricerca dei divisori di primo grado equivale alla ricerca dei divisori del tipo ${\displaystyle x-\alpha }$, di cui parleremo nei seguenti paragrafi.

Vogliamo dividere il polinomio

per ${\displaystyle x-\alpha }$. Il quoziente sarà un polinomio

di grado ${\displaystyle n-1}$; il resto sarà un polinomio di grado zero, cioè un numero ${\displaystyle R}$ indipendente da ${\displaystyle x.}$ Calcoliamo quoziente e resto. Sarà identicamente

Cioè, confrontando i coefficienti delle varie potenze della ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle a_{0}=q_{0};}$

${\displaystyle a_{1}=q_{1}-\alpha q_{0};}$

${\displaystyle 2=q_{2}-\alpha q_{1};}$

${\displaystyle \ldots$ ;}

${\displaystyle a_{n-1}=q{n-1}-\alpha q_{n-2};}$

${\displaystyle a_{n}=R-\alpha q_{n-1}.}$

1. ↑ Tale massimo comune divisore è determinato a meno di un fattore costante.