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${\displaystyle \beta )}$ Dal teorema sopra enunciato si deduce anche che, se ${\displaystyle P(x)}$ è un polinomio di (apparente) grado ${\displaystyle n}$, e se l’equazione ${\displaystyle P(x)=0}$ ammette più di ${\displaystyle n}$ radici, allora ${\displaystyle P(x)}$ è identicamente nullo, e ogni numero della radice della ${\displaystyle \mathrm {P(x)=0} }$ (in altre parole tutti i coefficienti di ${\displaystyle \mathrm {P(x)} }$ sono nulli).

Se due polinomi ${\displaystyle P(x)}$, ${\displaystyle Q(x)}$ sono uguali per tutti i valori della ${\displaystyle x}$, allora l’equazione ${\displaystyle P(x)-Q(x)=0}$ ammette infinite radici (perchè ogni numero ne è radice). Quindi il polinomio ${\displaystyle P(x)-Q(x)}$ ha nulli tutti i suoi coefficienti; cioè il grado di ${\displaystyle \mathrm {P(x)} }$ è uguale al grado di ${\displaystyle \mathrm {Q(x)} }$; ed ogni potenza della ${\displaystyle x}$ ha coefficienti uguali in ${\displaystyle P(x)}$ e in ${\displaystyle Q(x)}$: in una parola i polinomii ${\displaystyle P(x)}$, ${\displaystyle Q(x)}$ sono identicamente uguali.

Più precisamente due polinomii ${\displaystyle P_{1}(x)}$, ${\displaystyle P_{2}(x)}$ di grado ${\displaystyle n-1}$ sono uguali identicamente, se assumono gli stessi valori in ${\displaystyle n}$ punti distinti ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$. Cioè è completamente determinato un polinomio ${\displaystyle P(x)}$ di grado ${\displaystyle n-1}$, quando sieno dati i valori ${\displaystyle P(a_{1}),P(a_{2}),\ldots ,P(a_{n})}$, che esso assume in ${\displaystyle n}$ punti distinti ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{n}}$. Ed è facile intuire e verificare che un tale polinomio è dato che dalla

${\displaystyle P(x)}$	${\displaystyle =P(a_{1}){\frac {(x-a_{2})(x-a_{3})\ldots (x-a_{n})}{(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})\ldots (a_{1}-a_{n})}}+}$
	${\displaystyle +P(a_{2}){\frac {(x-a_{1})(x-a_{3})\ldots (x-a_{n})}{(a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})\ldots (a_{2}-a_{n})}}+}$
	${\displaystyle +..........+}$
	${\displaystyle +P(a_{n}){\frac {(x-a_{1})(x-a_{2})\ldots (x-a_{n-1})}{(a_{n}-a_{1})(a_{n}-a_{2})\ldots (a_{n}-a_{a_{n}-1})}}=}$
${\displaystyle =\sum _{=1}^{n}P(a_{i}){\frac {(x-a_{1})(x-a_{2})\ldots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})(x-a_{i+2})\ldots (x-a_{n})}{(a_{i}-a_{1})(a_{i}-a_{2})\ldots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})(a_{i}-a_{i+2})\ldots (a_{i}-a_{n})}}}$.

${\displaystyle \gamma )}$ Alle formole di § 14, ${\displaystyle \alpha }$, possiamo dare un altro aspetto notevole (Newton). Se noi nel secondo e terzo membro di (1) poniamo ${\displaystyle x+h}$ al posto della ${\displaystyle x}$, i coefficienti di ${\displaystyle h}$ nelle espressioni che se ne deducono saranno uguali. Si trova così con facile calcolo che:

${\displaystyle na_{o}x^{n-1}+(n-1)a_{1}x^{n-2}+\ldots +a_{n-1}=}$
${\displaystyle =a_{0}(x-\alpha _{2})(x-\alpha _{3})\ldots (x-\alpha _{n-1})(x-\alpha _{n})+}$
${\displaystyle +a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{3})\ldots (x-\alpha _{n-1})(x-\alpha _{n})+}$
${\displaystyle +................}$
${\displaystyle a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{n-2})(x-\alpha _{n})+}$
${\displaystyle a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{n-2})(x-\alpha _{n-1})=}$
${\displaystyle ={\frac {P(x)}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {P(x)}{x-\alpha _{2}}}+\ldots +{\frac {P(x)}{x-\alpha _{n}}}}$.	(2)

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