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${\displaystyle \alpha )}$ Dedurremo più tardi dalla teorie delle funzioni continue in più variabili il teorema fondamentale dell’algebra (teorema di Gauss).

Ogni polinomio ${\displaystyle \mathrm {P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}} }$ di grado n nella x è decomponibile in uno e in un solo modo nel prodotto di ${\displaystyle \mathrm {a_{0}} }$ e di n fattori di primo grado ${\displaystyle \mathrm {x-\alpha _{1},x-\alpha _{2},\ldots x-\alpha _{n}} }$ dove le ${\displaystyle \alpha }$ sono numeri distinti o no, reali o complessi.

${\displaystyle P(x)}$	${\displaystyle =a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=}$
	${\displaystyle =a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{n})}$.	(1)

[Ricordo che, dicendo che ${\displaystyle P(x)}$ è di grado ${\displaystyle n}$, si è detto anche che ${\displaystyle a_{0}\not =0}$].

Questa decomposizione in fattori ha qualche analogia con la decomposizione di un numero intero in fattori primi. Nell’algebra dei polinomii, che noi studiamo, i polinomii di primo grado hanno così un ufficio analogo a quello che i numeri primi hanno nell’aritmetica dei numeri interi.

Gli n numeri ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}}$^[1] sono tutte e solo le radici dell’equazione ${\displaystyle \mathrm {P(x)=0} }$ (perchè ${\displaystyle P(x)}$ può essere nullo soltanto se uno dei fattori ${\displaystyle x-\alpha }$ è nullo).

Ciò che rende intuitivo il teorema del Ruffini relativo al caso in cui il polinomio ${\displaystyle P(x)}$ è divisibile per un binomio ${\displaystyle x-\alpha }$.

Le formole del § 11 (pagina 44) ci dicono allora che:

La somma delle radici ${\displaystyle \alpha }$ vale ${\displaystyle \mathrm {\frac {a_{1}}{a_{0}}} }$.

La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando a due a due le radici ${\displaystyle \alpha }$ vale ${\displaystyle \mathrm {\frac {a_{2}}{a_{0}}} }$.

La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ad h ad h (se ${\displaystyle h\geq n}$) le radici ${\displaystyle \alpha }$ vale ${\displaystyle \mathrm {(-1)^{h}{\frac {a_{h}}{a_{0}}}} }$.

Il prodotto delle n radici ${\displaystyle \alpha }$ vale ${\displaystyle \mathrm {(-1)^{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}} }$.

Questi teoremi sono la generalizzazione di quelli ricordati nel § 10 per le equazioni di secondo e terzo grado.

1. ↑ Ricordo che le ${\displaystyle \alpha }$ possono anche essere non tutte distinte.