[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:69|3|0]]cienti reali. I fattori di primo grado corrispondono alle radici reali della ${\displaystyle \mathrm {P(x)=0} }$. I fattori di secondo grado corrispondono alle radici complesse. Anzi ognuno di questi fattori individua una coppia di radici immaginarie coniugate.

Se il polinomio è di grado dispari, evidentemente esso non può essere prodotto di soli fattori di secondo grado. Quindi:

Ogni equazione di grado dispari a coefficienti reali possiede almeno una radice reale.

Sarà bene enunciare esplicitamente la osservazione iniziale:

Se ${\displaystyle \mathrm {P(x)=0} }$ è un’equazione a coefficienti reali che possiede una radice complessa, essa possiede anche la radice immaginaria coniugata. Essa si può, per quanto abbiamo qui dimostrato, generalizzare così: Se un’equazione P(x) a coefficienti reali possiede r radici complesse uguali a un numero ${\displaystyle \mathrm {\alpha +i\beta } }$, essa possiede anche r radici uguali al numero complesso coniugato ${\displaystyle \mathrm {\alpha -i\beta } }$.

In tal caso tra i precedenti fattori ve ne sono ${\displaystyle r}$ uguali ad ${\displaystyle (x-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}$.

${\displaystyle \alpha )}$ Se ${\displaystyle f(x)=0}$, ${\displaystyle g(x)=0}$ sono due equazioni algebriche, che hanno comune la radice ${\displaystyle \alpha }$, allora ${\displaystyle x-\alpha }$ è divisore sia di ${\displaystyle f(x)}$ che di ${\displaystyle g(x)}$ e quindi anche del loro massimo comun divisore; cioè ${\displaystyle \alpha }$ è radice dell’equazione, ottenuta uguagliando a zero tale M. C. D. E reciprocamente, una radice di questa ultima equazione è radice comune delle ${\displaystyle f(x)=0}$, ${\displaystyle g(x)=0}$. Se tale M. C. D. è una costante (differente da zero), se cioè ${\displaystyle f(x),g(x)}$ sono primi tra di loro, le equazioni ${\displaystyle f(x)=0}$, ${\displaystyle g(x)=0}$ non avranno radici comuni.

${\displaystyle \beta )}$ Si può scrivere in vari modi la condizione necessaria e sufficiente affinchè le equazioni ${\displaystyle f(x)=0}$, ${\displaystyle g(x)=0}$ abbiano almeno una radice comune.

Se per esempio ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}$ sono le radici della ${\displaystyle g(x)=0}$, basta esprimere che è nulla almeno una delle ${\displaystyle f(\alpha _{1}),f(\alpha _{2}),\ldots ,f(\alpha _{m})}$, ossia che il loro prodotto

Il primo membro di questa equazione, essendo un polinomio simmetrico delle radici della ${\displaystyle g(x)=0}$, si può calcolare (§ 14, δ) senza risolvere questa equazione. Tale polinomio (che si può calcolare anche in altri modi, per esempio, esprimendo che almeno una