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Se noi calcoliano i quozienti dell’ultimo membro di (2) con le regole del § 13 troviamo:

${\displaystyle na_{0}x^{n-1}+(n-1)a_{1}x^{n-2}+\ldots +2a_{n-2}x+a_{n-1}=}$

${\displaystyle =a_{0}x^{n-1}+(a_{0}\alpha _{1}+a_{1})x^{n-2}+(a_{0}\alpha _{1}^{2}a_{1}\alpha _{1}+a_{2})x^{n-3}+\ldots +(a_{0}\alpha _{1}^{n-1}+a_{1}\alpha _{1}^{n-2}+\ldots +a_{n-1})+}$

${\displaystyle +a_{0}x^{n-1}+(a_{0}\alpha _{2}+a_{1})x^{n-2}+(a_{0}\alpha _{2}^{2}+a_{1}\alpha _{2}+a_{2})x^{n-3}+\ldots +(a_{0}\alpha _{2}^{n-1}+a_{1}\alpha _{2}^{n-2}+\ldots +a_{n-1})+}$

${\displaystyle +................................................................}$

${\displaystyle a_{0}x^{n-1}+(a_{0}\alpha _{n}+a_{1})x^{n-2}+(a_{0}\alpha _{n}^{2}+a_{1}\alpha _{n}+a_{2})x^{n-3}+\ldots +(a_{0}\alpha _{n}^{n-1}+a_{1}\alpha _{n}^{n-2}+\ldots +a_{n-1})=}$

${\displaystyle =na_{0}x^{n-1}+(a_{0}s_{1}+na_{1})+(a_{0}s_{2}+a_{1}s_{1}+na_{2})x^{n-3}+\ldots +}$

${\displaystyle +(a_{0}s_{n-1}+a_{1}s_{n-2}+\ldots +a_{n-2}s_{1}+na_{n-1})}$,

dove con ${\displaystyle s_{h}}$ ho indicato la somma ${\displaystyle \alpha _{1}^{h}+\alpha _{2}^{h}+\ldots +\alpha _{n}^{h}}$ delle ${\displaystyle h^{esime}}$ potenze delle radici ${\displaystyle \alpha }$. Se ne deduce, confrontando primo e terzo membro:

${\displaystyle a_{0}s_{1}+a_{1}=0}$

${\displaystyle a_{0}s_{2}+a_{1}s_{1}+2a_{2}=0}$

${\displaystyle .........................}$

${\displaystyle a_{n}s_{n-1}+a_{1}s_{n-2}+\ldots +a_{n2}s_{1}+(n-1)a_{n-1}=0}$.

Le quali formole permettono di calcolare successivamente le ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},\ldots s_{n-1}}$. Moltiplicando ${\displaystyle P(x)}$ per ${\displaystyle x^{h}(h=0,1,2,.....)}$, sostituendo nel prodotto una delle ${\displaystyle \alpha }$ al posto di ${\displaystyle x}$ (col che tale prodotto si annulla) e sommando tali prodotti si trova: (posto ${\displaystyle m=n+h=n,n+1,n+2,.....}$)

${\displaystyle a_{0}s_{m}+a_{1}s_{m-1}+\ldots +a_{n-1}s_{m-n+1}+a_{n}s_{m-n}=0(m\geq n)}$

che permette di calcolare successivamente ${\displaystyle s_{n},s_{n+1},s_{n+2},.....}$

Cosicchè: Si possono calcolare le ${\displaystyle {\text{s}}_{h}}$ appena sono noti i coefficienti ${\displaystyle {\text{a}}_{i}}$ dell’equazione ${\displaystyle \mathrm {P(x)=0} }$.

${\displaystyle \delta }$) Si calcoli la somma ${\displaystyle {\text{s}}_{\alpha ,\beta }}$ dei prodotti ottenuti moltiplicando la potenza ${\displaystyle \alpha ^{esima}}$ di una radice di una data equazione per la potenza ${\displaystyle \beta ^{esima}}$ di un’altra radice.

Basta osservare che il prodotto ${\displaystyle s_{\alpha }s_{\beta }=s_{\alpha ,\beta }+s_{\alpha +\beta }}$ se ${\displaystyle \alpha \not =\beta }$ e che ${\displaystyle s_{\alpha }s_{\alpha }=s_{2\alpha }+2s_{\alpha ,\alpha }}$.

Cosicchè ${\displaystyle s_{\alpha ,\beta }=s_{\alpha }s_{\beta }-s_{\alpha +\beta }}$, se ${\displaystyle \alpha \not =\beta }$, e ${\displaystyle s_{\alpha ,\alpha }={\frac {1}{2}}(s_{\alpha }s_{\alpha }-s_{\alpha \alpha })}$.

Le formole di Newton permettono così di esprimere in ogni caso ${\displaystyle s_{\alpha ,\beta }}$ per mezzo dei coefficienti dell’equazione. In modo analogo si deduce all’esame del prodotto ${\displaystyle s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }}$ che: La somma ${\displaystyle {\text{s}}_{\alpha ,\beta ,\gamma }}$ dei prodotti ottenuti moltiplicando la ${\displaystyle \alpha ^{esima}}$ potenza d’una radice di una equazione per la ${\displaystyle \beta ^{esima}}$ potenza di una seconda radice, e la ${\displaystyle \gamma ^{esima}}$ potenza d’una terza radice è esprimibile razionalmente^[1] mediante i coefficienti dell’equazione stessa.

In modo simile si definiscono e si insegnano a calcolare le ${\displaystyle s_{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }}$, eccetera, eccetera.

Tanto le ${\displaystyle s_{\alpha }}$ che le ${\displaystyle s_{\alpha ,\beta },s_{\alpha ,\beta ,\gamma },}$ eccetera, sono funzioni simmetriche delle radici d’una equazione (cioè non cambiano di valore, quando tali radici si permutino tra di loro in un modo qualsiasi). Ed è facile persuadersi che ogni polinomio simmetrico delle radici d’un equazione si ottiene come combinazione lineare delle somme ${\displaystyle s_{\alpha },s_{\beta ,\gamma },s_{\alpha ,\beta ,\gamma }.....}$ testè calcolate, ed è quindi esso stesso calcolabile razionalmente mediante i coefficienti dell’equazione (senza che sia necessario risolverla).

Così, per esempio, se ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}}$ sono le quattro radici di una equazione di quarto grado, l’espressione:

${\displaystyle 5\alpha _{1}(\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}+\alpha _{3}^{2}\alpha _{2}^{2}+\alpha _{4}^{2}\alpha _{2}^{2})+5\alpha _{2}(\alpha _{3}+\alpha _{4}^{2}+\alpha _{4}^{2}\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}^{2}\alpha _{2}^{2})+}$

${\displaystyle +5\alpha _{3}(\alpha _{4}^{2}\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}^{2}\alpha _{2}^{2}+\alpha _{4}^{2})+5\alpha _{4}(\alpha _{1}^{2}\alpha _{2}^{2}+\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}+\alpha _{3}^{2}\alpha _{1}^{2})+}$

${\displaystyle +4\alpha _{1}^{2}(\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})+4\alpha _{2}^{2}(\alpha _{3}+\alpha _{4}+\alpha _{1})+4\alpha _{3}^{2}(\alpha _{4}+\alpha _{1}+\alpha _{2})+}$

${\displaystyle +4\alpha _{4}^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})=5s_{1,2,2}+4s_{2,1}=5(s_{1},s_{2,2}-s_{2,3})+4s_{2,1}=}$

${\displaystyle =5\left(s_{1}{\frac {s_{2}^{2}-s_{4}}{2}}-\left[s_{2}s_{3}-s_{5}\right]\right)+4\left(s_{2}s_{1}-s_{3}\right).}$

1. ↑ Vale a dire con sole addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni.