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polinomii ed equazioni algebriche

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11° Dimostrare che i numeri contenuti nelle orizzontali del quadro

${\begin{matrix}&&&&&1&&&&&\\&&&&1&&1&&&&\\&&&1&&2&&1&&&\\&&1&&3&&3&&1&&\\&1&&4&&6&&4&&1&\\1&&5&&10&&10&&5&&1\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&\end{matrix}}$

sono ordinatamente i coefficienti dello sviluppo di $(x+a)^{0}$ , $(x+a)^{1}$ , $(x+a)^{2}$ , $(x+a)^{3}$ , eccetera. Si noti che il termine di posto $h$ della riga di posto $k$ si ottiene sommando i termini di posto $h$ ed $h-1$ della riga precedente $1<h<k$ .

12° Calcolare il numero

{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}

delle combinazioni con ripetizioni (in cui cioè uno stesso elemento può essere ripetuto una o più volte) di

n

elementi ad

h

ad

h

?

Ris. Quelle di tali combinazioni che non contengono il primo degli $n$ elementi dati sono (se $n>1)$ in numero di ${\begin{bmatrix}n-1\\h\end{bmatrix}}$ . Quelle che lo contengono sono in numero di ${\begin{bmatrix}n\\h-1\end{bmatrix}}$ , quando sia posto ${\begin{bmatrix}n\\0\end{bmatrix}}=1$ . Dunque si ha ${\begin{bmatrix}n\\h\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n-1\\h\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}n\\h-1\end{bmatrix}}$ . Queste proprietà, insieme alle ${\begin{bmatrix}1\\h\end{bmatrix}}=1,{\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}}=n$ bastano a definire ${\begin{bmatrix}n\\h\end{bmatrix}}$ . Dunque ${\begin{bmatrix}n\\h\end{bmatrix}}={\binom {n+h-1}{h}}$ , perchè ${\binom {n+k-1}{h}}$ gode (esercizio 6°) di tutte queste proprietà.

13° Dalla

(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )^{n}=\cos n\theta +i\operatorname {sen} n\theta

si deducano, sviluppando il primo membro con la formola del binomio, i valori di

\cos n\theta

e

\operatorname {sen} n\theta

.

Ris.

$\cos n\theta =\cos ^{n}\theta -{n \choose 2}\cos ^{n-2}\theta \operatorname {sen} ^{2}\theta +{n \choose 4}\cos ^{n-4}\theta \operatorname {sen} ^{4}\theta -\ldots$

$\operatorname {sen} n\theta =\operatorname {sen} \theta \left\{{n \choose 1}\cos ^{n-1}\theta -{n \choose 3}\cos ^{n-3}\theta \operatorname {sen} ^{2}\theta +{n \choose 5}\cos ^{n-5}\theta \operatorname {sen} ^{4}\theta -\ldots \right\}$

che si possono scrivere anche in altro modo ricordando che

\operatorname {sen} ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta

;

\operatorname {sen} ^{4}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{2}

,

eccetera

14° In modo simile dalla

$(\cos a_{1}+i\operatorname {sen} a_{1})(\cos _{2}+i\operatorname {sen} a_{2})\ldots (\cos a_{n}+i\operatorname {sen} a_{n})=$

$=\cos[a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n}]+i\operatorname {sen}[a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}]$

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