[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:72|3|0]]numero dei casi, in è possibile vincere un ambo, un terno, una quaterna secca. Tale numero diviso per il numero (esercizio 2°) ${\displaystyle \textstyle {\binom {90}{5}}}$ delle possibili estrazioni dà la cosidetta probabilità di vittoria.

4° Dati ${\displaystyle n<90}$ numeri interi positivi non maggiori di ${\displaystyle 90}$, in quante estrazioni del lotto può avvenire che ${\displaystyle k}$ nei numeri estratti, e non più di ${\displaystyle k}$ siano tra ${\displaystyle n}$ numeri dati?

Poichè ${\displaystyle k}$ dei numeri estratti sono da scegliere tra gli ${\displaystyle n}$ numeri dati e gli altri ${\displaystyle 5-k}$ tra i residui ${\displaystyle 90-n}$, il numero cercato è ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}{\binom {90-n}{5-k}}}$.

5° Dati ${\displaystyle n}$ interi positivi non maggiori di ${\displaystyle 90}$, in quante estrazioni del lotto può avvenire che almeno ${\displaystyle h<5}$ dei numeri estratti sieno tra gli ${\displaystyle n}$ numeri dati?

Si devono sommare, se per esempio ${\displaystyle n\geq 5}$, il valore delle estrazioni di cui all'esercizio 4°, relativi ai valori ${\displaystyle k=h,k=h+1,\ldots ,k=5}$.

6° Dimostrare che ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n-1}{m}}+{\binom {n-1}{m-1}}}$.

Ris. ${\displaystyle 1^{a}}$. Si verifichi direttamente.

Ris. ${\displaystyle 2^{a}}$. Si osservi che tra le ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{m}}}$ combinazione degli ${\displaystyle n}$ elementi ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ ad ${\displaystyle m}$ ad ${\displaystyle m}$ ve ne sono ${\displaystyle \textstyle {\binom {n-1}{m}}}$ che non contengono ${\displaystyle a_{1}}$ ed ${\displaystyle \textstyle {\binom {n-1}{m-1}}}$ che non lo contengono.

7° Dimostrare che ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n-1}{m-1}}+{\binom {n-2}{m-1}}+\ldots +{\binom {m-1}{m-1}}}$; (Confronta esercizio 6°).

8° Sviluppare ${\displaystyle (x+a+b)^{m}}$.

Ris. Si ponga ${\displaystyle c=a+b}$ e si sviluppi, sostituendo poi alle singole potenze di ${\displaystyle c}$ lo sviluppo corrispondente di ${\displaystyle (a+b),(a+b)^{2}}$, eccetera. Si trova che il coefficiente di ${\displaystyle x^{p}a^{q}b^{r}}$ (${\displaystyle p,q,r}$ interi positivi di somma ${\displaystyle n}$) è ${\displaystyle {\frac {\lfloor {\underline {n}}}{\lfloor {\underline {p}}\lfloor {\underline {q}}\lfloor {\underline {r}}}}}$, come si può provare anche direttamente.

9° La somma dei coefficienti dello sviluppo di ${\displaystyle (x+a)^{n}}$ vale ${\displaystyle 2^{n}}$: la somma dei coefficienti dello sviluppo di ${\displaystyle (x-a)^{n}}$ vale zero.

Ris. Infatti tali somme sono uguali ai valori di ${\displaystyle (x\pm a)^{n}}$ per ${\displaystyle x=a=1}$.

10° Sviluppare ${\displaystyle (2x\pm 3a)^{n}}$ e calcolare la somma dei coefficienti dello sviluppo.