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${\displaystyle \gamma )}$ Tra gli elementi si una matrice quadrata di ordine ${\displaystyle n}$ sono specialmente notevoli gli ${\displaystyle n}$ elementi della diagonale principale: cioè quelli che appartengono a riga e colonna di ugual indice. Per esempio, nel determinante ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c&d\\\alpha &\beta &\gamma &\delta \\A&B&C&D\\p&q&r&s\end{vmatrix}}}$ di ordine 4, la diagonale principale è costituita dai 4 elementi ${\displaystyle a,\beta ,C,s}$.

Diciamo che abbiamo trasposto (scambiato) due righe, per esempio la ${\displaystyle i^{esima}}$ e la ${\displaystyle j^{esima}}$ se scriviamo la ${\displaystyle i^{esima}}$ riga al posto della ${\displaystyle j^{esima}}$ e viceversa. Altrettanto dicasi per le colonne. Così, per esempio, dal precedente determinante si ottiene il determinante ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c&d\\A&B&C&D\\\alpha &\beta &\gamma &\delta \\p&q&r&s\end{vmatrix}}}$, trasparendo la seconda e la terza riga.

I determinanti si considerano come simboli comodi a scriversi per indicare certe quantità che ora definiremo^[1].

Un determinante ${\displaystyle |a|}$ del primo ordine si considera come identico al suo unico elemento ${\displaystyle a}$. Tale nozione non è però usata, perchè con ${\displaystyle |a|}$ si indica invece di solito non un determinante, ma bensì il valore assoluto o modulo di ${\displaystyle a}$. Molti dei seguenti teoremi non hanno del resto senso per determinanti di primo ordine.

Un determinante ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$ del secondo ordine si considera come un simbolo equivalente alla differenza ${\displaystyle ad-bc}$. (Ciò che, come è facile a riconoscere, è conforme alla seguente definizione).

Noi ora, supposto noto il significato di un determinante di ordine ${\displaystyle n-1}$, definiamo il valore di un determinante di ordine ${\displaystyle n}$. (Abbiamo così una definizione generale per induzione completa). I determinanti più usati sono quelli del secondo, del terzo e del quarto ordine.

1. ↑ Taluni usano due coppie di sbarre verticali per scrivere un determinante, pensato come matrice quadrata, usando poi due sole sbarre verticali se si vuole indicare il valore che ora definiremo.