[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:83|3|0]]Siano ${\displaystyle \rho ,\delta }$ i numeri d’ordine della riga e colonna che ${\displaystyle b}$ ha in ${\displaystyle D}$; siano ${\displaystyle \rho ',\delta '}$ i numeri d’ordine della riga e colonna che ${\displaystyle b}$ ha in ${\displaystyle \mu }$ (che si è ottenuto da ${\displaystyle D}$ cancellando la riga ${\displaystyle r^{esima}}$ e colonna ${\displaystyle s^{esima}}$). Il complemento algebrico di ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle \mu }$ vale il minore ${\displaystyle M}$ ottenuto cancellando da ${\displaystyle \mu }$ la riga e colonna incrociantisi in ${\displaystyle b}$, preceduto dal segno ${\displaystyle +}$ o ${\displaystyle -}$ secondo che ${\displaystyle \rho '+\delta '}$ è pari o dispari, cioè preceduto dal segno di ${\displaystyle (-1)^{\rho +\delta }}$.

Quindi il complemento di ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle A}$, vale ${\displaystyle M}$ preceduto dal segno del prodotto ${\displaystyle (-1)^{r+s}(-1)^{\rho '+\delta '}}$, cioè dal segno di ${\displaystyle (-1)^{(r+\rho ')+(s+\delta ')}}$.

Ora ${\displaystyle M}$ non è che il minore ottenuto da ${\displaystyle D}$ sopprimendo entrambe le righe ed entrambe le colonne che si incrociano in ${\displaystyle a}$ ed in ${\displaystyle b}$.

Così pure, se ${\displaystyle r'}$ ed ${\displaystyle s'}$ sono i numeri d’ordine della riga e colonna, a cui appartiene ${\displaystyle a}$ nel minore ottenuto da ${\displaystyle D}$ sopprimendo le righe e le colonne che si incrociano in ${\displaystyle b}$, il complemento di ${\displaystyle a}$ nel complemento di ${\displaystyle b}$ vale

dove ${\displaystyle M}$ è ancora il minore ottenuto sopprimendo in ${\displaystyle D}$ le righe e colonne che si incrociavano in ${\displaystyle a}$ e in ${\displaystyle b}$.

Ora per l’osservazione precedente

Analogamente è

Moltiplicando, se ne deduce:

Perciò:

Teorema II. Se a, b sono due elementi di un determinante appartenenti a righe e colonne distinte, il complemento algebrico di a nel complemento algebrico di b è uguale al complemento algebrico di b nel complemento algebrico di a.

Definizione Si dice valore di un determinante la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi di una linea qualsiasi per i loro complementi algebrici^[1].

1. ↑ Applicando questa definizione a un determinante di ordine 2, si ritorna al valore sopra definito di un tale determinante.
   Se invece moltiplichiamo gli elementi di una linea per i loro complementi algebrici cambiati di segno, e poi sommiamo, troviamo il valore del determinante cambiato di segno.