[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Lezioni di analisi matematica.pdf{{padleft:94|3|0]]

colare tosto, appena sono dati i coefficienti dell’equazione. Abbiamo così un metodo per riconoscere quando due delle radici di una data equazione sono tra loro uguali.

${\displaystyle \beta }$) Il discriminante può servire (almeno teoricamente) a calcolare approssimativamente le radici reali di una equazione a coefficienti reali, che abbia radici tutte distinte.

Se ${\displaystyle P(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0}$ è una tale equazione, esistono molti metodi per trovare un numero positivo ${\displaystyle B}$ maggiore del modulo di ogni sua radice^[1] reale o complessa.

Noi diremo che abbiamo calcolato in prima approssimazione, o anche che abbiamo separato le radici reali di tale equazione, se per ogni tale radice ${\displaystyle \alpha }$ sappiamo assegnare un intervallo dentro al quale sia contenuta la radice ${\displaystyle \alpha }$ e nessuna altra radice. Impareremo più avanti come il metodo Newton-Fourier permetta poi di dedurre valori di ${\displaystyle \alpha }$ approssimati a piacere. Se ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ sono le radici reali di tale equazione, è ${\displaystyle P(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{r})Q(x)}$ dove ${\displaystyle Q(x)}$ è un prodotto di fattori di secondo grado sempre positivi in ${\displaystyle x}$ reale. Cosicchè, se ${\displaystyle \mu ,\nu }$ sono due numeri reali tali che ${\displaystyle P(\mu )}$ e ${\displaystyle P(\nu )}$ abbiano segni opposti, certo nell’intervallo ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ esiste un numero dispari di radici ${\displaystyle \alpha }$, e quindi almeno una radice ${\displaystyle \alpha }$.

Se ${\displaystyle \lambda }$ è un numero positivo minore dei valori assoluti di tutte le differenze tra le radici reali combinare a due a due, allora, formano una progressione aritmetica indefinita in ambo i sensi, in cui la differenza tra due termini consecutivi sia eguale a codesto numero ${\displaystyle \lambda }$, tra due termini consecutivi della progressione potrà essere compresa una sola radice o nessuna. E, per quanto si disse, sarà facile assicurarsi se tra due termini consecutivi della progressione sia compresa o no una radice, poichè nel primo caso essi, sostituiti all’incognita ${\displaystyle x}$, faranno prendere al primo membro ${\displaystyle P(x)}$ dell’equazione segni opposti, nel secondo caso lo stesso segno^[2].

Evidentemente è inutile protrarre la progressione indefinitamente: basta tener conto solo di quei termini della progressione che cadono nell’intervallo compreso tra ${\displaystyle -B}$ e ${\displaystyle +B}$. In ognuno degli intervallini, ai cui estremi ${\displaystyle P(x)}$ ha segni opposti, e in essi soli, cade una e una sola radice di ${\displaystyle P(x)=0}$. Basterà tener conto di tali intervallini e traascurare gli altri perchè sia risolto il nostro problema di separare le radici della nostra equazione.

Il nostro problema è dunque ridotto alla determinazione del numero ${\displaystyle \lambda }$. Si noti che, se ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ed ${\displaystyle \alpha _{9}}$ sono due radici qualunque, è ${\displaystyle |\alpha _{1}-\alpha _{2}|\leq |\alpha _{1}|+|\alpha _{2}|\leq 2B}$.

Sostituendo nel valore (che sappiamo calcolare) di

in luogo di tutti i fattori, eccettuato ${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha _{2})}$, il numero maggiore (in valore assoluto) ${\displaystyle |2B|}$, si avrà:

${\displaystyle |\Delta |\leq |\alpha _{1}-\alpha _{2}|^{2}{(2B)^{2^{{\frac {n-(n-1)}{2}}-1}}}}$; onde ${\displaystyle {\sqrt {|\Delta |}}\leq |\alpha _{1}-\alpha _{2}||2B|^{{\frac {n(n-1)-1}{2}}-1}}$

1. ↑ Ecco, per esempio un metodo teoricamenre semplice. Sia ${\displaystyle A}$ la massima delle ${\displaystyle |a_{1}|,|a_{2}|,\ldots ,|a_{n}|}$. Sarà
   ${\displaystyle |P(x)|\geq |x|^{n}-\left\{|a_{1}x^{n-1}|+|a_{2}x^{n-2}|+\ldots +|a_{n}|\right\}\geq }$
   ${\displaystyle |x|^{n}-A\left\{|x|^{n-1}+|x|^{n-2}+\ldots +|x|+1\right\}=|x|^{n}-A{\frac {|x|^{n}-1}{|x|-1}}}$
   cioè
   ${\displaystyle |P(x)|\geq {\frac {x^{|n|}|x|-A-1|+A}{|x|-1}}}$. Se dunque ${\displaystyle |x|\geq A+1}$, allora sarà ${\displaystyle |P(x)|>0}$. Quindi se ${\displaystyle x}$ è radice di ${\displaystyle P(x)=0}$, il suo modulo ${\displaystyle |x|}$ sarà inferiore ad ${\displaystyle A+1}$. Potremo dunque porre ${\displaystyle B=A+1}$. Per altri metodi, che permettono di assegnare un valore più piccolo al numero ${\displaystyle B}$ rinvio ai trattati di algebra.
2. ↑ Non porta che semplificazioni il caso che uno dei termini della progressione sia esso stesso una radice.