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sulle tangenti sfero-coniugate.

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[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:17|3|0]]da queste due equazioni e dalla (2) deducesi immediatamente

${\frac {\left(\mathrm {X} ^{2}+\mathrm {Y} ^{2}+\mathrm {Z} ^{2}\right)^{2}}{\operatorname {sen} ^{2}e}}\left({\frac {1}{r_{2}r_{1}}}-{\frac {\cos ^{2}e}{k^{2}}}\right)={\begin{vmatrix}\mathrm {X} &\mathrm {A} &\mathrm {K} &\mathrm {H} \\\mathrm {Y} &\mathrm {K} &\mathrm {B} &\mathrm {G} \\\mathrm {Z} &\mathrm {H} &\mathrm {G} &\mathrm {C} \\\mathrm {O} &\mathrm {X} &\mathrm {Y} &\mathrm {Z} \end{vmatrix}}$

ossia

${\frac {1}{r_{2}r_{1}}}={\frac {\cos ^{2}e}{k^{2}}}+{\frac {\operatorname {sen} ^{2}e}{\mathrm {R} _{1}\mathrm {R} _{2}}}.$

Se poi chiamansi θ e θ₁ gli angoli che le tangenti sfero-coniugate fanno con una delle due linee di curvatura della superficie data, corrispondenti al punto di coordinate x, y, z, l’equazione precedente si muta in quest’altra

tang θ · tang θ₁ = ${\frac {{\frac {1}{\mathrm {R} _{1}}}-{\frac {1}{k}}}{{\frac {1}{k}}-{\frac {1}{\mathrm {R} _{2}}}}}$ ,

quindi concludiamo il seguente

Teorema. Il prodotto delle tangenti trigonometriche degli angoli che due linee a tangenti sfero-coniugate esistenti sopra una superficie comprendono con una linea di curvatura, è una quantità costante per uno stesso punto della superficie.

·

Pavia, il 3 settembre 1855.

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