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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

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si ricava:

$k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}\left({\frac {1}{\mathrm {D} }}-{\frac {1}{d}}\right)$	=	(L — kl) α² + 2 (L₁ — kl₁) βγ
	+	(M — km) β² + 2 (M₁ — km₁) γα
	+	(N — kn) γ² + 2 (N₁ — kn₁) αβ,

$k{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}\left({\frac {1}{\mathrm {D_{1}} }}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)$	=	(L — kl) α₁² + 2 (L₁ — kl₁) β₁γ₁
	+	(M — km) β₁² + 2 (M₁ — km₁) γ₁α₁
	+	(N — kn) γ₁² + 2 (N₁ — kn₁) α₁β₁.

Queste due equazioni si moltiplichino fra loro, membro per membro, e dal risultato sottraggasi il quadrato della (8). Avuto riguardo alle note relazioni:

${\frac {\beta \gamma _{1}-\gamma \beta _{1}}{\operatorname {sen} \omega }}={\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},$ ${\frac {\gamma \alpha _{1}-\alpha \gamma _{1}}{\operatorname {sen} \omega }}={\frac {q}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},$ ${\frac {\alpha \beta _{1}-\beta \alpha _{1}}{\operatorname {sen} \omega }}={\frac {r}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},$

ove ω è l’angolo delle rette (α, β, γ), (α₁, β₁, γ₁), il risultato può scriversi così:

${\frac {k^{2}(p^{2}+q^{2}+r^{2})}{\operatorname {sen} ^{2}\omega }}\left({\frac {1}{\mathrm {D} }}-{\frac {1}{d}}\right)\left({\frac {1}{\mathrm {D} _{1}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)=$ $={\begin{vmatrix}p&\mathrm {L} -kl&\mathrm {N} _{1}-kn_{1}&\mathrm {M} _{1}-km_{1}\\q&\mathrm {N} _{1}-kn_{1}&\mathrm {M} -km&\mathrm {L} _{1}-kl_{1}\\r&\mathrm {M} _{1}-km_{1}&\mathrm {L} _{1}-kl_{1}&\mathrm {N} -kn\\0&p&q&r\end{vmatrix}}=\Phi +k\Upsilon +k^{2}\Theta .$

Siano δ, δ₁ i raggi di massima e minima curvatura della superficie (1) nel punto (x, y, z); per una nota formola di Gauss^[1] avremo:

$\Theta ={\frac {(p^{2}+q^{2}+r^{2})^{2}}{\delta \delta _{1}}}.$

La quantità Φ ha l’analogo significato rispetto alla superficie inviluppata. Ma noi supporremo che per questa il punto (x, y, z) sia un ombelico, ed indicheremo con Δ il corrispondente raggio di curvatura, onde sarà D = D₁ = Δ. Avremo dunque:

$\Phi ={\frac {k^{2}(p^{2}+q^{2}+r^{2})^{2}}{\Delta ^{2}}}.$

↑ Disquisitiones generales circa superficies curvas.

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[1] Disquisitiones generales circa superficies curvas.

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