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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 293 |
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Ogni punto comune alla curva K e ad una delle direttrici rettilinee diminuisce di un’unità il grado della superficie. Per es., se entrambe le rette R, R’ incontrano K in due punti, la superficie è del quarto grado e per essa le rette date sono doppie.
Invece, se R incontra K in tre punti, mentre R’ non abbia con questa curva che due punti comuni, la superficie è, come si è già trovato altrimenti (§ 5), del terz’ordine R è la retta doppia, ed R’ è la seconda direttrice.
Se R ed R’ sono entrambe appoggiate a K in tre punti, si ottiene una superficie di secondo grado, cioè quell’unico iperboloide che passa per la data curva gobba di quart’ordine e seconda specie.
§ 9.
Cerchiamo di quale grado sia la superficie generata dal movimento di una retta, che debba incontrar due volte la curva gobba K ed una volta una data retta R. Da ogni punto di questa retta partono tre rette, che vanno ad incontrar due volte la curva gobba[1], cioè tre generatrici della superficie di cui si tratta. Dunque, la retta R sarà tripla su questa superficie. Ogni piano menato per R incontra la curva gobba in quattro punti che uniti a due a due danno sei generatrici. La sezione fatta da quel piano, nella superficie, consta di queste sei generatrici e della retta tripla R; dunque, la superficie è del nono ordine. Per essa, la curva K è tripla, perchè il piano condotto per un punto qualunque m di K e per R incontra la curva in altri tre punti m1, m2, m3, onde da m partono tre generatrici m (m1, m2, m3) della superficie. Questa ha inoltre una curva doppia del terz’ordine, che è il luogo dei punti in cui si segano le coppie di lati opposti del quadrangolo complete mm1m2m3.
Se la retta R incontra la curva K in un punto o, la superficie di nono ordine si risolve nel cono di terz’ordine che ha il vertice in o e passa per K (§ 17), ed in una superficie di sesto grado, per la quale la curva K è doppia e la retta R è tripla.
Se R incontra K in due punti o, o’ la superficie di nono ordine si decompone ne’ due coni prospettivi alla curva gobba, i cui vertici sono o, o’, ed in una superficie di terzo grado per la quale R è la retta doppia.
Finalmente, se R e appoggiata alla curva K in tre punti, la superficie di nono ordine consta de’ tre coni aventi i vertici in quei punti e passanti per la curva gobba.
Nel caso che la retta R sia appoggiata in due punti o, o’ alla curva K, il risultato può enunciarsi così:
Se intorno ad una retta appoggiata alla curva gobba di quart’ordine e seconda specie