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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 297 |
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§ 12.
Lemma. Quattro punti in linea retta, a, b, c, d, danno luogo a tre rapporti anarmonici fondamentali:
, , ;
gli altri tre rapporti anarmonici (abdc), (acbd), (adcb), che si possono formare con que’ quattro punti, sono i reciproci de’ tre superiori.
Quando due di quei tre rapporti anarmonici siano eguali, anche il terzo è eguale ai primi due. Ciò riesce evidente, osservando che, se si pone
(abcd) = r,
si ha
, .
Ora suppongansi dati sopra una retta i tre punti a, b, c; ed assunto ad arbitrio (nella retta) un punto m, si determini un punto m’ per modo che il rapporto anarmonico (abcm) sia eguale a quest’altro (acm’b) o, ciò che è lo stesso, a (cabm’). Variando insieme m, m’, questi punti generano due divisioni omografiche, nelle quali ad a, b, c, m corrispondono ordinatamente c, a, b, m. Se d è uno de’ due punti doppi di queste divisioni omografiche, il sistema de’ quattro punti a, b, c, d avrà i suoi tre rapporti anarmonici (fondamentali) eguali fra loro.
Se i tre punti dati sono tutti reali, i due punti doppi sono immaginari. Ma questi sono reali, quando due de’ tre punti dati siano immaginari coniugati. Inoltre è ovvio che, se due de’ punti dati coincidono in un solo, in questo coincidono anche i due punti doppi.
In conseguenza delle cose esposte nel § 2, quanto qui è detto per punti in linea retta, sussiste per punti della curva gobba K.
Ciò premesso, domandiamo di qual classe sia la superficie, inviluppo di un piano segante la curva K in quattro punti (due de’ quali immaginari), i cui tre rapporti anarmonici siano eguali[1]. Quanti di tali piani passano per una retta qualunque, per es. per una retta appoggiata alla curva gobba in tre punti a, b, c? Secondo il lemma premesso, i tre punti a, b, c determinano due punti, ciascuno de’ quali forma con a, b, c