[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:336|3|0]]retta, esiste in questa un solo e determinato punto ${\displaystyle d'}$, tale che sia:

Ciò riesce evidente, osservando che il segmento ${\displaystyle a'b'}$ dev’esser diviso dal punto ${\displaystyle d'}$ in modo che si abbia:

Donde segue che, se i punti ${\displaystyle a\,a'}$ coincidono (fig. 2.ª), le rette ${\displaystyle bb',\,cc',\,dd'}$ concorreranno in uno stesso punto ${\displaystyle o}$.Fig.ª 2.ªFig.ª 2.ª

Analogamente: dati due fasci di quattro rette ${\displaystyle \mathrm {ABCD} ,\,\mathrm {A'B'C'D'} }$, i centri de’quali siano ${\displaystyle o,\,o'}$ ed i rapporti anarmonici

siano eguali, se i raggi ${\displaystyle \mathrm {AA'} }$ coincidono in una retta unica (passante per ${\displaystyle o}$ e per ${\displaystyle o'}$), i tre punti ${\displaystyle \mathrm {BB'} ,\,\mathrm {CC'} ,\,\mathrm {DD'} }$, sono in linea retta.

Dati quattro punti ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ in una retta ed altri quattro punti ${\displaystyle a',\,b',\,c',\,d'}$ in una seconda retta (fig. 3.^a), se i rapporti anarmonici ${\displaystyle (abcd),\,(a'b'c'd')}$ sono eguali, anche i Fig.ª 3.ªFig.ª 3.ªdue fasci di quattro rette ${\displaystyle a(a'b'c'd'),\,a'(abcd)}$ avranno eguali rapporti anarmonici (2). Ma in questi due fasci i raggi corrispondenti ${\displaystyle aa',\,a'a}$ coincidono; dunque i tre punti