[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:337|3|0]]${\displaystyle (ab',\,a'b)}$, ${\displaystyle (ac',\,a'c)}$, ${\displaystyle (ad',\,a'd)}$ sono in linea retta. Questa proprietà offre una semplice regola per costruire il punto ${\displaystyle d'}$, quando siano dati ${\displaystyle abcd,\,a'b'c'}$.

Ed in modo somigliante si risolve l’analogo problema rispetto a due fasci di quattro rette.

4. Quattro punti ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ in linea retta diconsi armonici quando sia:

epperò anche:

I punti ${\displaystyle a,\,b}$ e così pure ${\displaystyle c,\,d}$ diconsi coniugati fra loro^[1].

Se il punto ${\displaystyle d}$ si allontana a distanza infinita, il rapporto ${\displaystyle {\frac {ad}{db}}}$ ha per limite ${\displaystyle -1}$; quindi dall’equazione ${\displaystyle (abcd)=-1}$ si ha ${\displaystyle {\frac {ac}{cb}}=1}$, ossia ${\displaystyle c}$ è il punto di mezzo del segmento ${\displaystyle ab}$.

La relazione armonica ${\displaystyle (abcd)=-1}$, ossia

mostra che uno de’ punti ${\displaystyle c,\,d}$, per esempio ${\displaystyle c}$, è situato fra ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, mentre l’altro punto ${\displaystyle d}$ è fuori del segmento finito ${\displaystyle ab}$. Laonde, se ${\displaystyle a}$ coincide con ${\displaystyle b}$, anche ${\displaystyle c}$ coincide con essi. E dalla stessa relazione segue che, se ${\displaystyle a}$ coincide con ${\displaystyle c}$, anche ${\displaystyle d}$ coincide con ${\displaystyle a}$.

La relazione armonica individua uno de’ quattro punti, quando sian dati gli altri tre. Ma se questi sono coincidenti, il quarto riesce indeterminato.

Analogamente: quattro rette ${\displaystyle \mathrm {A,\,B,\,C,\,D} }$, concorrenti in un punto, diconsi armoniche quando si abbia:

cioè quando esse siano incontrate da una trasversale qualunque in quattro punti armonici.

5. Sia dato (fig. 4.^a) un quadrilatero completo, ossia il sistema di quattro rette segan- Fig.ª 4.ªFig.ª 4.ª

1. ↑ Il punto ${\displaystyle b}$ dicesi coniugato armonico di ${\displaystyle a}$ rispetto ai due ${\displaystyle c,\,d}$, ecc.