[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:338|3|0]]tisi a due a due in sei punti ${\displaystyle a,\,b,\,c}$, ${\displaystyle a',\,b',\,c'}$. Le tre diagonali ${\displaystyle aa',\,bb',\,cc'}$ formano un triangolo ${\displaystyle \alpha \beta \gamma }$. Sia ${\displaystyle x}$ il punto coniugato armonico di ${\displaystyle \beta }$ rispetto a ${\displaystyle c,\,c'}$ e sia ${\displaystyle y}$ il coniugato armonico di ${\displaystyle \gamma }$ rispetto a ${\displaystyle b,\,b'}$. La retta coniugata armonica di ${\displaystyle aa'}$ rispetto alle ${\displaystyle acb',\,ac'b}$ ed anche la retta coniugata armonica di ${\displaystyle a'a}$ rispetto alle ${\displaystyle a'bc,\,a'b'c'}$ dovranno passare per ${\displaystyle x}$ e per ${\displaystyle y}$. Dunque questi punti coincidono insieme con ${\displaystyle \alpha }$, punto comune alle ${\displaystyle bb',\,cc'.}$ Donde segue che ciascuna diagonale è divisa armonicamente dalle altre due.

Di qui una semplice regola per costruire uno de’ quattro punti armonici ${\displaystyle \alpha ,\,\gamma ,b,b'}$, quando siano dati gli altri tre.

Una somigliante proprietà appartiene al quadrangolo completo (sistema di quattro punti situati a due a due in sei rette) e dà luogo alla costruzione di un fascio armonico di quattro rette.

6. Quattro punti ${\displaystyle m_{1},\,m_{2},\,m_{3},\,m_{4}}$ in linea retta, riferiti ad un punto ${\displaystyle o}$ della retta medesima, siano rappresentati dall’equazione di quarto grado:

2)	${\displaystyle \mathrm {A} .{\overline {om}}^{4}+4\mathrm {B} .{\overline {om}}^{3}+6\mathrm {C} .{\overline {om}}^{2}+4\mathrm {D} .{\overline {om}}+\mathrm {E} =0}$,

cioè siano ${\displaystyle om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}}$ le radici dell’equazione medesima.

Se il rapporto anarmonico ${\displaystyle (m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})}$ è eguale a ${\displaystyle -1}$, si avrà:

ovvero, sostituendo ai segmenti ${\displaystyle m_{1}m_{3},\dots }$ le differenze ${\displaystyle om_{3}-om_{1},\dots }$ ed avendo riguardo alle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione:

Analogamente: le equazioni ${\displaystyle (m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})=-1,\,(m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})=-1}$ danno:

Moltiplicando fra loro queste tre equazioni si otterrà la condizione necessaria e sufficiente, affinchè uno de’ tre sistemi ${\displaystyle (m_{1}m_{2}m_{3}m_{4})}$, ${\displaystyle (m_{1}m_{3}m_{4}m_{2})}$, ${\displaystyle (m_{1}m_{4}m_{2}m_{3})}$ sia armonico. Il risultato è simmetrico rispetto ai segmenti ${\displaystyle om_{1},\,om_{2},\,om_{3},\,om_{4}}$, epperò si potrà esprimere coi soli coefficienti dell’equazione 2). Si ottiene così:

come condizione perchè i punti rappresentati dalla data equazione 2), presi in alcuno degli ordini possibili, formino un sistema armonico^[1].

1. ↑ Salmon, Lessons introductory to the modern higher algebra, Dublin 1859, p. 100.