[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:343|3|0]]ossia sviluppando:

3)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r}-{\begin{bmatrix}n-1\\r-1\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-1}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{1}+}$ ${\displaystyle +{\begin{bmatrix}n-2\\r-2\\\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{om}}\right)^{r-2}\sum \left({\frac {1}{oa}}\right)_{2}-\dots =0;}$

ove il simbolo ${\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\r\\\end{bmatrix}}}$ esprime il numero delle combinazioni di ${\displaystyle n}$ cose prese ad ${\displaystyle r}$ ad ${\displaystyle r}$.

L’equazione 3), del grado ${\displaystyle r}$ rispetto ad ${\displaystyle om}$, dà ${\displaystyle r}$ posizioni pel punto ${\displaystyle m}$: tali ${\displaystyle r}$ punti ${\displaystyle m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}}$ si chiameranno^[1] centri armonici, del grado ${\displaystyle r}$, del dato sistema di punti ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}$ rispetto al polo ${\displaystyle o}$.

Quando ${\displaystyle r=1}$, si ha un solo punto ${\displaystyle m}$, che è stato considerato da Poncelet sotto il nome di centro delle medie armoniche^[2].

Se inoltre è ${\displaystyle n=2}$, il punto ${\displaystyle m}$ diviene il coniugato armonico di ${\displaystyle o}$ rispetto ai due ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}}$ (4).^[3]

12. Se l’equazione 1) si moltiplica per ${\displaystyle oa_{1}.a_{2}\dots oa_{n}}$ e si divide per ${\displaystyle ma_{1}.ma_{2}\dots ma_{n}}$, essa si muta evidentemente in quest’altra:

4)	${\displaystyle \sum \left({\frac {oa}{ma}}\right)_{n-r}=0}$,

donde si raccoglie:

Se ${\displaystyle m}$ è un centro armonico, del grado ${\displaystyle r}$, del dato sistema di punti rispetto al polo ${\displaystyle o}$, viceversa ${\displaystyle o}$ è un centro armonico, del grado ${\displaystyle n-r}$, del medesimo sistema rispetto al polo ${\displaystyle m}$.

13. Essendo ${\displaystyle m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}}$ gli ${\displaystyle r}$ punti che sodisfanno all’equazione 3), sia ${\displaystyle \mu }$ il loro centro armonico di primo grado rispetto al polo ${\displaystyle o}$; avremo l’equazione:

analoga alla 2), ossia sviluppando:

Ma, in virtù della 3), è:

1. ↑ Jonquières, Mémoire sur la théorie des pôles et polaires etc. (Journal de M. Liouville, août 1857, p. 266).
2. ↑ Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques (Giornale di Crelle, t. 3, Berlino 1828, p. 229).
3. ↑ {Se ${\displaystyle n=1}$, ossia se il dato sistema riducesi ad un punto unico, con questo coincide il centro armonico di 1.º grado di qualsivoglia polo.}