[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:346|3|0]]${\displaystyle n-2}$, del sistema ${\displaystyle m_{1}\,m_{2}\dots m_{n-1}}$ rispetto al polo ${\displaystyle o'}$ coincidono coi centri armonici, del grado ${\displaystyle n-2}$, del sistema ${\displaystyle m_{1}'\,m_{2}'\dots m_{n-1}'}$ rispetto al polo ${\displaystyle o}$.

Questo teorema, ripetuto successivamente, può essere esteso ai centri armonici di grado qualunque, e allora s’enuncia così:

Se ${\displaystyle m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}}$ sono i centri armonici, di grado ${\displaystyle r}$, del sistema dato ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}$ rispetto al polo ${\displaystyle o}$, e se ${\displaystyle m_{1}'\,m_{2}'\dots m_{r'}'}$ sono i centri armonici, di grado ${\displaystyle r'}$, dello stesso sistema dato rispetto ad un altro polo ${\displaystyle o'}$, i centri armonici, di grado ${\displaystyle r+r'-n}$, del sistema ${\displaystyle m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}}$ rispetto al polo ${\displaystyle o'}$ coincidono coi centri armonici, di grado ${\displaystyle r+r'-n}$, del sistema ${\displaystyle m_{1}'\,m_{2}'\dots m_{r'}'}$, rispetto al polo ${\displaystyle o}$.

15. Se ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle \mu }$ sono rispettivamente i centri armonici, di primo grado, dei sistemi ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}$ ed ${\displaystyle a_{2}\,a_{3}\dots a_{n}}$, rispetto al polo ${\displaystyle o}$, si avrà:

Si supponga ${\displaystyle \mu }$ coincidente con ${\displaystyle a_{1}}$: in tal caso le due equazioni precedenti, paragonate fra loro, danno ${\displaystyle om=o\mu }$. Dunque:

Se ${\displaystyle a_{1}}$ è il centro armonico, di primo grado, del sistema di punti ${\displaystyle a_{2}\,a_{3}\dots a_{n}}$ rispetto al polo ${\displaystyle o}$, il punto ${\displaystyle a_{1}}$ è anche il centro armonico, di primo grado, del sistema ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}$ rispetto allo stesso polo.

16. Fin qui abbiamo tacitamente supposto che i dati punti ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}$ fossero distinti, ciascuno dai restanti. Suppongasi ora che ${\displaystyle r}$ punti ${\displaystyle a_{n}\,a_{n-1}\dots a_{n-r+1}}$ coincidano in un solo, che denoteremo con ${\displaystyle a_{0}}$. Allora, se nella equazione 5) si assume ${\displaystyle a_{0}}$ in luogo dell’origine arbitraria ${\displaystyle i}$, risulta evidentemente:

onde l’equazione 5) riesce divisibile per ${\displaystyle {\overline {a_{0}m}}^{r-1}}$, cioè ${\displaystyle r-1}$ centri armonici del grado ${\displaystyle n-1}$ cadono in ${\displaystyle a_{0}}$, e ciò qualunque sia il polo ${\displaystyle o}$. Ne segue inoltre, avuto riguardo al teorema (13), che in ${\displaystyle a_{0}}$ cadono ${\displaystyle r-2}$ centri armonici di grado ${\displaystyle n-2}$; ${\displaystyle r-3}$ centri armonici di grado ${\displaystyle n-3,\dots }$ ed un centro armonico di grado ${\displaystyle n-r+1}$.

17. L’equazione 3) moltiplicata per ${\displaystyle {\overline {om}}^{r}}$ e per ${\displaystyle (-1)^{r}oa_{1}.oa_{2}\dots oa_{n}}$ diviene:

6)	${\displaystyle {\overline {om}}^{r}\sum (oa)_{n-r}-(n-r+1){\overline {om}}^{r-1}\sum (oa)_{n-r+1}}$ ${\displaystyle +{\frac {(n-r+2)(n-r+1)}{1.2}}{\overline {om}}^{r-2}\sum (oa)_{n-r+2}\dots }$ ${\displaystyle \dots +(-1)^{r}{\frac {n(n-1)\dots (n-r+1)}{1.2\dots r}}\sum (oa)_{n}=0}$.