Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/347

Questa pagina è stata trascritta, formattata e riletta.

introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

333

[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:347|3|0]]

Suppongo ora che il polo $o$ coincida, insieme con $a_{n}\,a_{n-1}\dots a_{n-s+1}$ , in un unico punto. Allora si ha:

$\sum (oa)_{n}=0,\quad \sum (oa)_{n-1}=0,\dots \sum (oa)_{n-s+1}=0$ ;

quindi l’equazione che precede riesce divisibile per ${\overline {om}}^{s}$ , ossia il polo $o$ tien luogo di $s$ centri armonici di grado qualunque. Gli altri $r-s$ centri armonici, di grado $r$ , sono dati dall’equazione:

${\overline {om}}^{r-s}\sum (oa)_{n-r}-(n-r+1){\overline {om}}^{r-s-1}\sum (oa)_{n-r+1}$ $+{\frac {(n-r+2)(n-r+1)}{1.2}}{\overline {om}}^{r-s-2}\sum (oa)_{n-r+2}\dots =0$ ,

ove le somme $\sum (oa)$ contengono solamente i punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n-s}$ . Dunque, gli altri $r-s$ punti $m$ , che insieme ad $o$ preso $s$ volte costituiscono i centri armonici, di grado $r$ , del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ rispetto al polo $o$ , sono i centri armonici, di grado $r-s$ , del sistema $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n-s}$ rispetto allo stesso polo $o$ ^[1].

Si noti poi che, per $s=r+1$ , l’ultima equazione è sodisfatta identicamente, qualunque sia $m$ . Cioè, se $r+1$ punti $a$ ed il polo $o$ coincidono insieme, i centri armonici del grado $r$ riescono indeterminati, onde potrà assumersi come tale un punto qualunque della retta $a_{1}\,a_{2}\dots$ ^[2].

18. Abbiasi, come sopra (11), in una retta $\mathrm {R}$ (fig. 5.^a) un sistema di $n$ punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ Fig.ª 5.ªFig.ª 5.ª ed un polo $o$ ; sia inoltre $m$ un centro armonico di grado $r$ , onde fra i segmenti $ma$ ,

↑ {Viceversa, se $s$ centri armonici (di grado qualunque) coincidono nel polo $o$ , in questo coincideranno $s$ punti del sistema fondamentale.}
↑ {Viceversa, se i centri armonici di grado $r$ rispetto ad un polo $o$ sono indeterminati, i centri armonici di grado $r+1$ sono tutti riuniti in $o$ , e questo punto in tal caso assorbe anche $r+1$ punti del sistema fondamentale.}

Questa voce è stata pubblicata da Wikisource. Il testo è rilasciato in base alla licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. Potrebbero essere applicate clausole aggiuntive per i file multimediali.

[1] {Viceversa, se $s$ centri armonici (di grado qualunque) coincidono nel polo $o$ , in questo coincideranno $s$ punti del sistema fondamentale.}

[2] {Viceversa, se i centri armonici di grado $r$ rispetto ad un polo $o$ sono indeterminati, i centri armonici di grado $r+1$ sono tutti riuniti in $o$ , e questo punto in tal caso assorbe anche $r+1$ punti del sistema fondamentale.}

[1]

[2]