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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:348|3|0]] $oa$ sussisterà la relazione 1). Assunto un punto arbitrario $c$ fuori di $\mathrm {R}$ e da esso tirate le rette ai punti $o,\,a,\,m$ , seghinsi queste con una trasversale qualunque $\mathrm {R} '$ nei punti $o',\,a',\,m'$ . Allora si avrà:

${\frac {ma}{ca}}:{\frac {m'a'}{ca'}}={\frac {\operatorname {sen} {cm'a'}}{\operatorname {sen} {cma}}}$ ,

ed analogamente:

${\frac {oa}{ca}}:{\frac {o'a'}{ca'}}={\frac {\operatorname {sen} {co'a'}}{\operatorname {sen} {coa}}}$ ,

donde si ricava:

${\frac {ma}{oa}}:{\frac {m'a'}{o'a'}}={\frac {\operatorname {sen} {cm'a'}}{\operatorname {sen} {co'a'}}}:{\frac {\operatorname {sen} {cma}}{\operatorname {sen} {coa}}}$ .

Il secondo membro di questa equazione non varia, mutando i punti $a,\,a'$ , quindi avremo:

${\displaystyle {\frac {ma_{1}}{oa_{1}}}:{\frac {ma_{2}}{oa_{2}}}:\dots$ .

Siccome poi la relazione 1) è omogenea rispetto alle quantità ${\frac {ma}{oa}}$ , così se ne dedurrà:

$\sum \left({\frac {m'a'}{o'a'}}\right)_{r}=0$ ,

cioè:

Se $m$ è un centro armonico, di grado $r$ , di un dato sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ situati in linea retta, rispetto al polo $o$ posto nella stessa retta, e se tutti questi punti si projettano, mediante raggi concorrenti in un punto arbitrario, sopra una trasversale qualunque, il punto $m'$ (projezione di $m$ ) sarà un centro armonico, di grado $r$ , del sistema di punti $a_{1}'\,a_{2}'\dots a_{n}'$ (projezioni di $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ ) rispetto al polo $o'$ (projezione di $o$ ).

Questo teorema ci abilita a trasportare ad un sistema di rette concorrenti in un punto le definizioni ed i teoremi superiormente stabiliti per un sistema di punti allineati sopra una retta.

19. Sia dato un sistema di $n$ rette $\mathrm {A} _{1}\,\mathrm {A} _{2}\dots \mathrm {A} _{n}$ ed un’altra retta $\mathrm {O}$ , tutte situate in uno stesso piano e passanti per un punto fisso $c$ . Condotta una trasversale arbitraria $\mathrm {R}$ che, senza passare per $c$ , seghi le rette date in $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$ ed $o$ , si imaginino gli $r$ centri armonici $m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}$ , di grado $r$ , del sistema di punti $a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}$

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