[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:349|3|0]]rispetto al polo ${\displaystyle o}$. Le rette ${\displaystyle {\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}}$ condotte da ${\displaystyle c}$ ai punti ${\displaystyle m_{1}\,m_{2}\dots m_{r}}$ si chiameranno assi armonici, di grado ${\displaystyle r}$, del dato sistema di rette ${\displaystyle {\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}}$ rispetto alla retta ${\displaystyle {\rm {O}}}$.

Considerando esclusivamente rette passanti per ${\displaystyle c}$, avranno luogo i seguenti teoremi, analoghi a quelli già dimostrati per un sistema di punti in linea retta.⁴³

Se ${\displaystyle {\rm {M}}}$ è un asse armonico, di grado ${\displaystyle r}$, del dato sistema di rette ${\displaystyle {\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}}$ rispetto alla retta ${\displaystyle {\rm {O}}}$, viceversa ${\displaystyle {\rm {O}}}$ è un asse armonico di grado ${\displaystyle n-r}$, del medesimo sistema, rispetto alla retta ${\displaystyle {\rm {M}}}$.

Se ${\displaystyle {\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}}$ sono gli assi armonici, di grado ${\displaystyle r}$, del dato sistema ${\displaystyle {\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}}$, rispetto alla retta ${\displaystyle {\rm {O}}}$, gli assi armonici, di grado ${\displaystyle s\,(s<r)}$, del sistema ${\displaystyle {\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}}$, rispetto ad ${\displaystyle {\rm {O}}}$, sono anche gli assi armonici, del grado ${\displaystyle s}$, del sistema dato, rispetto alla stessa retta ${\displaystyle {\rm {O}}}$.

Se ${\displaystyle {\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}}$ sono gli assi armonici, di grado ${\displaystyle r}$, del sistema dato ${\displaystyle {\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}}$ rispetto alla retta ${\displaystyle {\rm {O}}}$ e se ${\displaystyle {\rm {M_{1}'\,M_{2}'\dots M_{r'}'}}}$ sono gli assi armonici, di grado ${\displaystyle r'}$, dello stesso sistema dato, rispetto ad un’altra retta ${\displaystyle {\rm {O'}}}$; gli assi armonici, di grado ${\displaystyle r+r'-n}$, del sistema ${\displaystyle {\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}}$, rispetto alla retta ${\displaystyle {\rm {O'}}}$, coincidono cogli assi armonici, di grado ${\displaystyle r+r'-n}$, del sistema ${\displaystyle {\rm {M_{1}'\,M_{2}'\dots M_{r'}'}}}$, rispetto alla retta ${\displaystyle {\rm {O}}}$.

Qualunque sia la retta ${\displaystyle {\rm {O}}}$, se ${\displaystyle r}$ fra le rette date ${\displaystyle {\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}}$ coincidono in una sola, questa tien luogo di ${\displaystyle r-1}$ assi armonici di grado ${\displaystyle n-1}$, di ${\displaystyle r-2}$ assi armonici di grado ${\displaystyle n-2,\dots }$ di un asse armonico di grado ${\displaystyle n-r+1}$.

Se ${\displaystyle s}$ rette ${\displaystyle {\rm {A_{n}\,A_{n-1}\dots A_{n-s+1}}}}$ coincidono fra loro e colla retta ${\displaystyle {\rm {O}}}$, questa tien luogo di ${\displaystyle s}$ assi armonici di qualunque grado, e gli altri ${\displaystyle r-s}$ assi armonici, di grado ${\displaystyle r}$, sono gli assi armonici, di grado ${\displaystyle r-s}$, del sistema ${\displaystyle {\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n-s}}}}$ rispetto ad ${\displaystyle {\rm {O}}}$.

20. Se al n.º 18 la trasversale ${\displaystyle {\rm {R'}}}$ vien condotta pel punto ${\displaystyle o}$, ossia se la retta ${\displaystyle {\rm {R}}}$ si fa girare intorno ad ${\displaystyle o}$, il teorema ivi dimostrato può essere enunciato così:

Siano date ${\displaystyle n}$ rette ${\displaystyle {\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n}}}}$ concorrenti in un punto ${\displaystyle c}$. Se per un polo fisso ${\displaystyle o}$ si conduce una trasversale arbitraria ${\displaystyle {\rm {R}}}$ che seghi quelle ${\displaystyle n}$ rette ne’ punti ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}$, i centri armonici di grado ${\displaystyle r}$, del sistema ${\displaystyle a_{1}\,a_{2}\dots a_{n}}$, rispetto al polo ${\displaystyle o}$, generano, ruotando ${\displaystyle {\rm {R}}}$ intorno ad ${\displaystyle o}$, ${\displaystyle r}$ rette ${\displaystyle {\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}}$ concorrenti in ${\displaystyle c}$.

E dagli ultimi due teoremi (19) segue:

Se ${\displaystyle s}$ rette ${\displaystyle {\rm {A_{n}\,A_{n-1}\dots A_{n-s+1}}}}$ fra le date coincidono in una sola ${\displaystyle {\rm {A_{0}}}}$, questa tien luogo di ${\displaystyle s-(n-r)}$ delle rette ${\displaystyle {\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}}$. Se inoltre ${\displaystyle {\rm {A_{0}}}}$ passa pel polo ${\displaystyle o}$, essa tien luogo di ${\displaystyle s}$ delle rette ${\displaystyle {\rm {M_{1}\,M_{2}\dots M_{r}}}}$. Le rimanenti ${\displaystyle r-s}$, fra queste rette, sono il luogo de’ centri armonici di grado ${\displaystyle r-s}$ (rispetto al polo ${\displaystyle o}$) de’ punti, in cui ${\displaystyle {\rm {R}}}$ sega le rette ${\displaystyle {\rm {A_{1}\,A_{2}\dots A_{n-s}}}}$.