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Assunto ad arbitrio nella retta data un punto ${\displaystyle m}$, si determini un punto ${\displaystyle m'}$ per modo che sia

Variando simultaneamente ${\displaystyle m,\,m'}$ generano due punteggiate proiettive, nelle quali ai punti ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,m}$ corrispondono ordinatamente ${\displaystyle c,\,a,\,b,\,m'}$. Se chiamansi ${\displaystyle d,\,e}$ i punti comuni di queste punteggiate, si avrà:

cioè il proposto problema è risoluto da ciascuno de’ punti ${\displaystyle d,\,e}$.

Ora siano ${\displaystyle \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }$ i tre punti della retta data, che rendono armonici i tre sistemi ${\displaystyle (b,c,a,\alpha )}$, ${\displaystyle (c,a,b,\beta )}$, ${\displaystyle (a,b,c,\gamma )}$; i due sistemi ${\displaystyle (a,b,c,\gamma )}$, ${\displaystyle (a,c,b,\beta )}$ saranno projettivi, e siccome al punto ${\displaystyle b}$, considerato come appartenente all’uno o all’altro sistema, corrisponde sempre ${\displaystyle c}$, così le tre coppie ${\displaystyle a\alpha ,\,bc,\,\beta \gamma }$ sono in involuzione, cioè ${\displaystyle a}$ è un punto doppio dell’involuzione quadratica determinata dalle coppie ${\displaystyle bc,\,\beta \gamma }$. L’altro punto doppio della stessa involuzione è ${\displaystyle \alpha }$, poichè il segmento ${\displaystyle bc}$ è diviso armonicamente dai punti ${\displaystyle a,\,\alpha }$. Dunque ${\displaystyle a,\,\alpha }$ dividono armonicamente non solo ${\displaystyle bc}$, ma anche ${\displaystyle \beta \gamma }$. Si ha perciò:

ossia i sistemi ${\displaystyle (b,c,a,\alpha )}$, ${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\alpha ,a)}$ sono projettivi: la qual cosa torna a dire che le coppie ${\displaystyle a\alpha ,\,b\beta ,\,c\gamma }$ sono in involuzione^[1].⁴⁵

Da un punto ${\displaystyle o}$ preso ad arbitrio fuori della retta data imagininsi condotti i raggi ${\displaystyle o(a,\alpha ,b,\beta ,c,\gamma )}$ e ${\displaystyle o(d,e)}$, i quali tutti si seghino con una trasversale parallela ad ${\displaystyle oc}$ nei punti ${\displaystyle a',\,\alpha ',\,b',\,\beta ',\,\infty ,\,\gamma ',\,d',\,e'}$. Avremo:

onde la 7) diverrà:

8)	${\displaystyle {\overline {a'd'}}^{2}-a'd'.a'b'+{\overline {a'b'}}^{2}=0.}$

Essendo ${\displaystyle (abc\gamma )=-1}$, si ha ${\displaystyle (a'b'\infty \gamma ')=-1}$, cioè ${\displaystyle \gamma '}$ è il punto medio del segmento ${\displaystyle a'b'}$. Quindi, per le identità: ${\displaystyle a'd'=\gamma 'd'-\gamma 'a'}$, ${\displaystyle a'b'=-2\gamma 'a'}$, la 8) diviene:

9)	${\displaystyle {\overline {\gamma 'd'}}^{2}={\overline {\gamma 'e'}}^{2}=3\gamma 'a'.\gamma 'b',}$

1. ↑ Staudt, Geometrie der Lage, Nürnberg 1847, p. 121.