[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:357|3|0]]

donde si ricava che ${\displaystyle \gamma '}$ è il punto medio del segmento ${\displaystyle d'e'}$, cioè si ha ${\displaystyle (d'e'\infty \gamma ')=-1}$, epperò ${\displaystyle (dec\gamma )=-1}$. Similmente si dimostra essere ${\displaystyle (deb\beta )=-1}$, ${\displaystyle (dea\alpha )=-1}$; vale a dire ${\displaystyle d,\,e}$ sono i punti doppi dell’involuzione ${\displaystyle (a\alpha ,b\beta ,c\gamma )}$^[1].

Il rapporto anarmonico ${\displaystyle \lambda }$ è dato dall’equazione 7), ossia è una radice cubica imaginaria di ${\displaystyle -1}$. Per conseguenza, i quattro punti ${\displaystyle a\,b\,c\,d}$ od ${\displaystyle a\,b\,c\,e}$ non possono essere tutti reali. L’equazione 9) ha il secondo membro negativo o positivo, secondo che ${\displaystyle a'b'}$ siano punti reali o imaginari coniugati. Dunque, se i tre punti dati ${\displaystyle a,\,b,\,c}$ sono tutti reali, i punti ${\displaystyle d,\,e}$ sono imaginari coniugati; ma se due de’ tre punti dati sono imaginari coniugati, i punti ${\displaystyle d,\,e}$ sono reali.

L’equazione 8) poi mostra che, se ${\displaystyle a'b'=0}$, anche ${\displaystyle a'd'=a'e'=0}$; cioè, se due de’ punti dati coincidono in un solo, in questo cadono riuniti anche i punti ${\displaystyle d,\,e}$.

27. Chiameremo equianarmonico un sistema di quattro punti, i cui rapporti anarmonici fondamentali siano eguali, ossia un sistema di quattro punti aventi per rapporti anarmonici le radici cubiche imaginarie di ${\displaystyle -1}$.

Quattro punti ${\displaystyle m_{1}\,m_{2}\,m_{3}\,m_{4}}$ in linea retta siano rappresentati (6) dall’equazione:

10)	${\displaystyle \mathrm {A} .{\overline {om}}^{4}+4\mathrm {B} .{\overline {om}}^{3}+6\mathrm {C} .{\overline {om}}^{2}+4\mathrm {D} .om+\mathrm {E} =0.}$

Se il sistema di questi quattro punti è equianarmonico, si avrà:

ovvero, sostituendo ai segmenti ${\displaystyle m_{1}m_{2},\dots }$ le differenze ${\displaystyle om_{2}-om_{1},\dots }$:

Sviluppando le operazioni indicate, quest’equazione si manifesta simmetrica rispetto ai quattro segmenti ${\displaystyle om}$, onde si potrà esprimerla per mezzo dei soli coefficienti della 10). Ed invero, coll’aiuto delle note relazioni fra i coefficienti e le radici di un’equazione, si trova senza difficoltà:

1. ↑ Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, Nürnberg 1856-57-60, p. 178.
2. ↑ Painvin, Équation des rapports anharmoniques etc. (Nouvelles Annales de Mathématiques, t. 19. Paris 1860, p. 412).