[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:364|3|0]] che una curva semplice dell’ordine ${\displaystyle n}$ non può avere più di ${\displaystyle {\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}}$ punti doppi (comprese le cuspidi). Infatti: se ne avesse uno di più, per questi ${\displaystyle {\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}+1}$ e per altri ${\displaystyle n-3}$ punti della stessa curva, in tutto ${\displaystyle {\tfrac {(n-2)(n-2+3)}{2}}}$ punti, si potrebbe far passare una curva dell’ordine ${\displaystyle n-2}$, la quale avrebbe in comune colla linea data ${\displaystyle 2\left\{{\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}+1\right\}+n-3=n(n-2)+1}$ intersezioni: il che è impossibile, se la curva data non è composta di linee d’ordine minore^[1].

36. Sia dato (fig. 6.^a) un triangolo ${\displaystyle {\rm {ABC}}}$. Un punto qualunque ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle {\rm {BC}}}$ è individuato dal rapporto ${\displaystyle {\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}}$; e parimenti, un punto qualunque ${\displaystyle b}$ di ${\displaystyle {\rm {CA}}}$ è individuato dal rapporto ${\displaystyle {\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}}$. Tirate le rette ${\displaystyle \mathrm {A} a,\,\mathrm {B} b}$, queste s’incontrino in un punto ${\displaystyle m}$, che è, per conseguenza, Fig.ª 6.ªFig.ª 6.ªdeterminato dai due rapporti ${\displaystyle {\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}}$, i quali chiameremo coordinate del punto ${\displaystyle m}$. La retta ${\displaystyle \mathrm {C} m}$ seghi ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ in ${\displaystyle c}$: così si ottiene un terzo rapporto ${\displaystyle {\tfrac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}}$. Fra i tre rapporti ha luogo una semplice relazione, poichè, in virtù del noto teorema di

1. ↑ Plücker, loco citato, p. 215.