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37. Consideriamo di nuovo (fig. 7ª) un triangolo ${\displaystyle {\rm {ABC}}}$; un punto ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle {\rm {BC}}}$, determinato dal rapporto ${\displaystyle {\tfrac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}}$ ed un punto ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle {\rm {CA}}}$, determinato dal rapporto ${\displaystyle {\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}}$, individuano una retta ${\displaystyle ab}$ la quale è, per conseguenza, determinata dai due rapporti ${\displaystyle {\tfrac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}}$, ${\displaystyle {\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}}$. Fig.ª 7.ªFig.ª 7.ªQuesti due rapporti si chiameranno coordinate della retta. La quale poi incontra ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ in un terzo punto ${\displaystyle c}$, e così dà luogo ad un terzo rapporto ${\displaystyle {\tfrac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}}$. In virtù del noto teorema di Menelao^[1], i tre rapporti sono connessi fra loro dalla relazione semplicissima:

Quando la retta ${\displaystyle ab}$ passa per l’uno ${\displaystyle o}$ per l’altro de’ punti ${\displaystyle {\rm {A}}}$, ${\displaystyle {\rm {B}}}$, una delle due coordinate è zero. Se poi la retta passa per ${\displaystyle {\rm {C}}}$, entrambe le coordinate sono infinite, ma è finito il loro rapporto ${\displaystyle {\tfrac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}}$.

Supponiamo che la retta ${\displaystyle ab}$ varii girando intorno ad un punto dato. Allora i punti ${\displaystyle a,\,b}$ genereranno due punteggiate projettive, epperò fra le due coordinate di ${\displaystyle ab}$ avrà luogo una equazione di primo grado rispetto a ciascuna coordinata. E siccome, quando la retta mobile passa per ${\displaystyle C}$, entrambe le coordinate divengono infinite, così la forma dell’equazione sarà:

1')	${\displaystyle \lambda {\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}+\mu {\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}+\nu =0}$.

Questa relazione fra le coordinate di una retta mobile intorno ad un punto dato può chiamarsi l’equazione del punto (considerato come inviluppo della retta mobile).

1. ↑ Menelaus, Sphaerica, III, 1.       [Einleitung]