[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:370|3|0]]

(d). Supposti i punti ${\displaystyle a''b''c''}$ in linea retta, gli altri sei ${\displaystyle aa'bb'cc'}$ sono in una curva di second’ordine; onde, se tre di questi, ${\displaystyle a'b'c'}$, coincidono, si avrà:

Se tre trasversali condotte da un punto ${\displaystyle a'}$ di una cubica tagliano questa in tre punti ${\displaystyle a''b''c''}$ situati in linea retta ed in altri tre punti ${\displaystyle abc}$, la cubica avrà in ${\displaystyle a'}$ un contatto tripunto con una curva di second’ordine passante per ${\displaystyle abc}$.

Se ${\displaystyle a''b''c''}$ coincidono in un flesso, dal teorema precedente si ricava:

Ogni trasversale condotta per un flesso di una cubica sega questa in due punti, ne’ quali la curva data ha due contatti tripunti con una stessa curva di second’ordine^[1].

E per conseguenza:

Se da un flesso di una cubica si conduce una retta a toccarla in un altro punto, in questo la cubica ha un contatto sipunto con una curva di second’ordine^[2].

40. Consideriamo una curva-inviluppo della classe ${\displaystyle m}$, rappresentata dall’equazione 2'). Per ottenere le tangenti di questa curva, passanti per ${\displaystyle {\rm {A}}}$, dobbiamo fare ivi ${\displaystyle {\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}=0}$; l’equazione risultante darà i valori dell’altra coordinata relativi ai punti ${\displaystyle a,\,a',\dots }$ in cui il lato ${\displaystyle {\rm {BC}}}$ è incontrato dalle tangenti passanti per ${\displaystyle {\rm {A}}}$. Avremo così:

Analogamente, pei punti ${\displaystyle b,\,b',\dots }$ in cui il lato ${\displaystyle {\rm {CA}}}$ è incontrato dalle tangenti passanti per ${\displaystyle {\rm {B}}}$, avremo:

Dividasi ora l’equazione 2') per ${\displaystyle \left({\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}\right)^{m}}$; avuto riguardo alla relazione:

si otterrà:

Se in questa equazione si fa ${\displaystyle {\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}=0}$, si avranno i punti ${\displaystyle c,c',\dots }$ in cui ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ è

1. ↑ Poncelet, Analyse des transversales (Giornale di Crelle, t. 8, Berlino 1832, p. 129-135).
2. ↑ Plücker, Ueber Curven dritter Ordnung und analytische Beweisführung (Giornale di Crelle, t. 34, Berlino 1847, p. 330).