[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:371|3|0]]incontrata dalle tangenti che passano per ${\displaystyle {\rm {C}}}$. Quindi

I tre risultati così ottenuti danno:

3')	${\displaystyle {\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {a'\mathrm {B} }{a'\mathrm {C} }}\dots \times {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {b'\mathrm {C} }{b'\mathrm {A} }}\dots \times {\frac {c\mathrm {A} }{c\mathrm {B} }}.{\frac {c'\mathrm {A} }{c'\mathrm {B} }}\dots =(-1)^{m}}$.

Si ha dunque il teorema^[1]:

Se dai vertici di un triangolo ${\displaystyle {\rm {ABC}}}$ si conducono le tangenti ad una curva della classe ${\displaystyle m}$, le quali incontrino i lati opposti ne’ punti ${\displaystyle aa'\dots ,bb'\dots ,cc'\dots }$, fra i segmenti determinati da questi punti sui lati si ha la relazione 3').

Per ${\displaystyle m=1}$ si ricade nel teorema di Ceva. Per ${\displaystyle m=2}$ si ha una proprietà relativa a sei tangenti di una curva di seconda classe; e se ne deduce il teorema che, se una tal curva è circoscritta ad un triangolo, le tangenti nei vertici incontrano i lati opposti in tre punti situati sopra una stessa retta. Ecc. ecc.

41. Si rappresentino con ${\displaystyle {\rm {U=0}}}$, ${\displaystyle {\rm {U'=0}}}$ due equazioni analoghe alla 2), relative a due curve d’ordine ${\displaystyle n}$. Indicando con ${\displaystyle \lambda }$ una quantità arbitraria, l’equazione ${\displaystyle {\rm {U+\lambda U'=0}}}$ rappresenterà evidentemente un’altra curva d’ordine ${\displaystyle n}$. I valori delle coordinate ${\displaystyle {\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}}$, che annullano ${\displaystyle {\rm {U}}}$ ed ${\displaystyle {\rm {U'}}}$, annullano anche ${\displaystyle {\rm {U+\lambda U'}}}$; dunque le ${\displaystyle n^{2}}$ intersezioni delle due curve rappresentate da ${\displaystyle {\rm {U=0}}}$, ${\displaystyle {\rm {U'=0}}}$ appartengono tutte alla curva rappresentata da ${\displaystyle {\rm {U+\lambda U'=0}}}$^[2]. Siccome poi quest’ultima equazione rappresenta una curva dell’ordine ${\displaystyle n}$ per ciascuno degli infiniti valori che si possono attribuire a ${\displaystyle \lambda }$, così abbiamo il teorema:

Per le ${\displaystyle n^{2}}$ intersezioni di due curve dell’ordine ${\displaystyle n}$ passano infinite altre curve dello stesso ordine.

Altrove (34) si è dimostrato che una curva d’ordine ${\displaystyle n}$ è determinata da ${\displaystyle {\tfrac {n(n+3)}{2}}}$ condizioni. Dal teorema precedente segue che per ${\displaystyle {\tfrac {n(n+3)}{2}}}$ punti passa, in generale, una sola curva d’ordine ${\displaystyle n}$: poichè, se per quei punti passassero due curve di quest’ordine, in virtù di quel teorema, se ne potrebbero tracciare infinite altre.

1. ↑ Chasles, Géométrie supérieure, Paris 1852, p. 361.
2. ↑ Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, Paris 1818, p. 28.