[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:375|3|0]]${\displaystyle {\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}}$; cioè ${\displaystyle {\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}}$ comuni a ${\displaystyle {\rm {C_{n}}}}$, ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$, e ${\displaystyle (n-m)p-{\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}}$ comuni a ${\displaystyle {\rm {C_{n}}}}$, ${\displaystyle {\rm {C_{n-m}}}}$; e tutte le rimanenti saranno in una curva d’ordine ${\displaystyle n-p}$.

Da questo teorema segue che gli ${\displaystyle mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}}$ punti dati comuni alle curve ${\displaystyle {\rm {C_{n},\,C_{m},\,C_{p}}}}$ individuano altri ${\displaystyle {\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}}$ punti comuni alle curve medesime. Tutti questi punti sono pienamente determinati dalle curve ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$, ${\displaystyle {\rm {C_{p}}}}$, indipendentemente da ${\displaystyle {\rm {C_{n}}}}$; dunque:

Qualunque curva d’ordine ${\displaystyle n}$ descritta per ${\displaystyle mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}}$ intersezioni di due curve d’ordini ${\displaystyle m,\,p}$ (${\displaystyle m,\,p}$ non maggiori di ${\displaystyle n}$) passa anche per tutti gli altri punti comuni a queste curve^[1].⁵⁵

45. I teoremi or ora dimostrati sono della più alta importanza, a cagione del loro frequente uso nella teoria delle curve. Qui mi limiterò ad accennare qualche esempio interessante.

(a). Una curva d’ordine ${\displaystyle n}$ sia segata da una trasversale ne’ punti ${\displaystyle a,\,b,\,\dots }$ e da una seconda trasversale ne’ punti ${\displaystyle a',\,b',\dots }$. Considerando il sistema delle ${\displaystyle n}$ rette ${\displaystyle aa',\,bb',\dots }$ come un luogo d’ordine ${\displaystyle n}$, le rimanenti intersezioni di esse colla curva data saranno (43, b) in una curva d’ordine ${\displaystyle n-2}$. Supponiamo ora che ${\displaystyle a',\,b',\dots }$ coincidano rispettivamente con ${\displaystyle a,\,b,\dots }$; avremo il teorema:

Se ne’ punti, in cui una curva d’ordine ${\displaystyle n}$ è segata da una retta, si conducono le tangenti alla curva, esse incontrano la curva medesima in altri ${\displaystyle n(n-2)}$ punti, situati sopra una curva d’ordine ${\displaystyle n-2}$^[2].

(b) Analogamente si dimostra il teorema generale:

Se ne’ punti, in cui una curva d’ordine ${\displaystyle n}$ è segata da un’altra curva d’ordine ${\displaystyle n'}$, si conducono le tangenti alla prima curva, esse la segheranno in altri ${\displaystyle nn'(n-2)}$ punti, tutti situati in una curva dell’ordine ${\displaystyle n'(n-2)}$.

Questo teorema è un’immediata conseguenza della proprietà dimostrata al principio del n. 44, purchè si consideri il complesso delle ${\displaystyle nn'}$ tangenti come un luogo dell’ordine ${\displaystyle nn'}$, e la curva d’ordine ${\displaystyle n'}$, ripetuta due volte, come un luogo dell’ordine ${\displaystyle 2n'}$.

(c) Una curva del terz’ordine passi pei vertici di un esagono e per due de’ tre

1. ↑ Cayley, {On the Intersection of Curves} (Cambridge Mathematical Journal, vol. III, 1843, p. 211).
2. ↑ Maclaurin, l. c. p. 237.