[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:379|3|0]]

Due fasci di curve si diranno projettivi quando siano rispettivamente projettivi a due stelle projettive fra loro; ossia quando le curve de’ due fasci si corrispondano fra loro ad una ad una. Evidentemente i rapporti anarmonici di quattro curve dell’un fascio e delle quattro corrispondenti curve dell’altro sono eguali. E le involuzioni, che due fasci projettivi determinano su di una stessa trasversale o su di due trasversali distinte, sono projettive.

50. Siano dati due fasci projettivi, l’uno d’ordine ${\displaystyle n}$, l’altro d’ordine ${\displaystyle n'}$; di qual ordine è il luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? Con una trasversale arbitraria sego entrambi i fasci: ottengo così due involuzioni projettive, l’una di grado ${\displaystyle n}$, l’altra di grado ${\displaystyle n'}$. Queste involuzioni hanno ${\displaystyle n+n'}$ punti comuni (24, b); cioè, nella trasversale vi sono ${\displaystyle n+n'}$ punti, per ciascuno de’ quali passano due curve corrispondenti de’ due fasci, epperò ${\displaystyle n+n'}$ punti del luogo richiesto. Questo luogo è dunque una curva ${\displaystyle {\rm {C_{n+n'}}}}$ d’ordine ${\displaystyle n+n'}$^[1]. Essa passa per tutt’i punti-base de’ due fasci, poichè uno qualunque di questi punti giace su tutte le curve di un fascio e sopra una curva dell’altro^[2].

(a) La curva risultante dell’ordine ${\displaystyle n+n'}$ può talvolta decomporsi in linee d’ordine inferiore. Ciò avviene, per esempio, quando le curve corrispondenti de’ due fasci dati si incontrano costantemente sopra una curva d’ordine ${\displaystyle r<n+n'}$. Allora gli altri punti d’intersezione sono situati in una seconda curva dell’ordine ${\displaystyle n+n'-r}$, che insieme colla precedente costituisce il luogo completo d’ordine ${\displaystyle n+n'}$, generato dai due fasci.

(b) Questa decomposizione avviene anche quando i due fasci projettivi, supposti dello stesso ordine ${\displaystyle n}$, abbiano una curva comune e questa corrisponda a sè medesima. Allora ogni punto di questa curva può risguardarsi come comune a due curve corrispondenti; quindi il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti ne’ due fasci sarà, in questo caso, una curva dell’ordine ${\displaystyle n}$.

A questa proprietà si può dare anche il seguente enunciato, nel quale tutte le curve nominate s’intendano dell’ordine ${\displaystyle n}$:

Se una curva ${\displaystyle {\rm {H}}}$ passa pei punti comuni a due curve ${\displaystyle {\rm {U}}}$, ${\displaystyle {\rm {V}}}$ e pei punti comuni a due altre curve ${\displaystyle {\rm {U'}}}$, ${\displaystyle {\rm {V'}}}$, anche i punti comuni alle curve ${\displaystyle {\rm {U}}}$, ${\displaystyle {\rm {U'}}}$, insieme coi punti comuni alle ${\displaystyle {\rm {V}}}$, ${\displaystyle {\rm {V'}}}$, giaceranno tutti in una stessa curva ${\displaystyle {\rm {K}}}$.

1. ↑ Per questo metodo di determinare l’ordine di un luogo geometrico veggasi: Poncelet, Analyse des transversales, p. 29.
2. ↑ {Grassmann, Die höhere Projectivität in der Ebene (Crelle t. 42, 1851, p. 202).}
   Chasles, Construction de la courbe du 3. ordre etc. Comptes rendus, 30 mai 1853). — Sur les courbes du 4. et du 3. ordre etc. (Comptes rendus, 16 août 1853).
   Jonquières, Essai sur la génération des courbes etc. Paris 1858, p. 6.