[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:398|3|0]]si hanno ${\displaystyle s-1}$ cuspidi, mentre ogni altra combinazione di due rami darà un punto doppio ordinario. Ossia: un punto ${\displaystyle (r)}$^plo con ${\displaystyle s}$ tangenti riunite produce, rispetto alla classe della curva, la stessa diminuzione che produrrebbero ${\displaystyle {\tfrac {r(r-1)}{2}}-(s-1)}$ punti doppi ordinari ed ${\displaystyle s-1}$ cuspidi.

75. Da un polo ${\displaystyle o}$ condotte due trasversali a segare la curva fondamentale ${\displaystyle {\rm {C_{n}}}}$ rispettivamente in ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}}$, ${\displaystyle b_{1}b_{2}\dots b_{n}}$, se ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ sono i centri armonici, di primo grado, di questi due sistemi di ${\displaystyle n}$ punti rispetto ad ${\displaystyle o}$, la retta polare di ${\displaystyle o}$ sarà ${\displaystyle \alpha \beta }$. Donde segue che, se pei medesimi punti ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}}$, ${\displaystyle b_{1}b_{2}\dots b_{n}}$ passa una seconda linea ${\displaystyle {\rm {C_{n}'}}}$ dell’ordine ${\displaystyle n}$, la retta ${\displaystyle \alpha \beta }$ sarà la polare di ${\displaystyle o}$ anche rispetto a ${\displaystyle {\rm {C_{n}'}}}$. Imaginando ora che le due trasversali ${\displaystyle oa,\,ob}$ siano infinitamente vicine, arriviamo al teorema:

Se due linee dell’ordine ${\displaystyle n}$ si toccano in ${\displaystyle n}$ punti situati in una stessa retta, un punto qualunque di questa ha la medesima retta polare rispetto ad entrambe le linee date^[1].

La seconda linea può essere il sistema delle tangenti a ${\displaystyle {\rm {C_{n}}}}$ negli ${\displaystyle n}$ punti ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}}$; dunque:

Un polo, che sia in linea retta con ${\displaystyle n}$ punti di una curva dell’ordine ${\displaystyle n}$, ha la stessa retta polare rispetto alla curva e rispetto alle tangenti di questa negli ${\displaystyle n}$ punti.

Ciò torna a dire che, se una trasversale tirata ad arbitrio pel polo ${\displaystyle o}$ incontra la curva in ${\displaystyle c_{1}c_{2}\dots c_{n}}$ e le ${\displaystyle n}$ tangenti in ${\displaystyle t_{1}t_{2}\dots t_{n}}$, si avrà (11):

76. Sian date ${\displaystyle n}$ rette ${\displaystyle {\rm {A_{1}A_{2}\dots A_{n}}}}$ situate comunque nel piano, ed un polo ${\displaystyle o}$; sia ${\displaystyle {\rm {P_{r}}}}$ la retta polare di ${\displaystyle o}$ rispetto al sistema delle ${\displaystyle n-1}$ rette ${\displaystyle {\rm {A_{1}A_{2}\dots A_{r-1}A_{r+1}\dots A_{n}}}}$ considerato come luogo d’ordine ${\displaystyle n-1}$; e sia ${\displaystyle a_{r}}$ il punto in cui ${\displaystyle {\rm {P_{r}}}}$ incontra ${\displaystyle {\rm {A_{r}}}}$. In virtù del teorema (15), ${\displaystyle a_{r}}$ è anche il centro armonico di primo grado, rispetto al polo ${\displaystyle o}$, del sistema di ${\displaystyle n}$ punti in cui le ${\displaystyle n}$ rette date sono tagliate dalla trasversale ${\displaystyle oa_{r}}$; dunque:

Date ${\displaystyle n}$ rette ed un polo ${\displaystyle o}$, il punto, in cui una qualunque delle rette date incontra la retta polare di ${\displaystyle o}$ rispetto alle altre ${\displaystyle n-1}$ rette, giace nella retta polare di ${\displaystyle o}$ rispetto alle ${\displaystyle n}$ rette^[3].⁶⁷

Da questo teorema, per ${\displaystyle n=3}$, si ricava:

Le rette polari di un punto dato rispetto agli angoli di un trilatero incontrano i lati rispettivamente opposti in tre punti situati in una stessa retta, che è la polare del punto dato rispetto al trilatero risguardato come luogo di terz’ordine.

1. ↑ Salmon, A treatise on the higher plane curves, Dublin 1852, p. 54.
2. ↑ Maclaurin, l. c. p. 201.
3. ↑ Cayley, Sur quelques théorèmes de la géométrie de position (Giornale di Crelle, t. 34, Berlino 1847, p. 274).