[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:417|3|0]]

99. Data una curva qualsivoglia ${\displaystyle {\rm {C_{n}}}}$ (fondamentale), indichiamo con

${\displaystyle n}$ l’ordine della medesima,

${\displaystyle m}$ la classe,

${\displaystyle \delta }$ il numero de’ punti doppi,

${\displaystyle \chi }$ il numero de’ punti stazionari o cuspidi,

${\displaystyle \tau }$ il numero delle tangenti doppie,

${\displaystyle \iota }$ il numero delle tangenti stazionarie, ossia de’ flessi.

Siccome ${\displaystyle m}$ è il numero delle tangenti che da un punto arbitrario si possono condurre alla curva data, così, in virtù del teorema (74, c) o (87, d), si ha:

1)	${\displaystyle m=n(n-1)-2\delta -3\chi ,}$

formola che somministra la classe di una curva, quando se ne conosca l’ordine e si sappia di quanti punti doppi e cuspidi è fornita.

Pel principio di dualità, un’equazione della stessa forma dovrà dare l’ordine di una curva, quando se ne conosca la classe, il numero delle tangenti doppie e quello delle stazionarie (82); dunque:

2)	${\displaystyle n=m(m-1)-2\tau -3\iota }$.

100. Siccome ogni punto della curva fondamentale, il quale abbia per conica polare il sistema di due rette, è un flesso o un punto multiplo (80), così la curva Hessiana, la quale è il luogo de’ punti le cui coniche polari si risolvono in coppie di rette (90, a), sega la linea data nei flessi e ne’ punti multipli di questa. Onde, essendo l’Hessiana dell’ordine ${\displaystyle 3(n-2)}$, se la curva data non ha punti multipli, il numero de’ suoi flessi è ${\displaystyle 3n(n-2)}$^[1].

Supponiamo ora che ${\displaystyle {\rm {C_{n}}}}$ abbia un punto doppio ${\displaystyle d}$; nel qual caso tutte le prime polari passano per ${\displaystyle d}$. Allora l’Hessiana della rete formata da queste prime polari, che

1. ↑ Plücker, System der analytischen Geometrie, Berlin 1835, p. 264. — Hesse, Ueber die Wendepuncte der Curven dritter Ordnung (Giornale di Crelle, t. 28, Berlino 1844, p. 104).