[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:442|3|0]]terrà soltanto altre ${\displaystyle 3(n-2)^{2}-3}$ curve aventi un punto doppio; e ciò torna a dire che la retta ${\displaystyle {\rm {P}}}$ non ha che ${\displaystyle 3(n-2)^{2}-3}$ punti comuni colla Steineriana, oltre ad ${\displaystyle o}$. Questo punto equivale dunque a tre intersezioni della curva con ${\displaystyle {\rm {P}}}$; e lo stesso può ripetersi per ${\displaystyle {\rm {P'}}}$, retta polare di ${\displaystyle p'}$.

Per conseguenza: se una prima polare ha due punti doppi ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p'}$, il suo polo ${\displaystyle o}$ è un punto doppio della Steineriana, la quale è ivi toccata dalle rette polari di ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p'}$.

Ed avuto riguardo al numero de’ punti doppi della Steineriana (118, d), si conclude:

In una rete geometrica dell’ordine ${\displaystyle n-1}$, vi sono ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}(n-2)(n-3)(3n^{2}-9n-5)}$ curve, ciascuna delle quali ha due punti doppi^[1].

121. Imaginisi ora una prima polare dotata di una cuspide ${\displaystyle p}$, e siane ${\displaystyle o}$ il polo. Una retta qualunque ${\displaystyle {\rm {R}}}$ condotta per ${\displaystyle o}$ determina un fascio di prime polari, una delle quali ha una cuspide in ${\displaystyle p}$; perciò il numero di quelle dotate di un punto doppio (88, b) sarà ${\displaystyle 3(n-2)^{2}-2}$. Dunque ${\displaystyle {\rm {R}}}$ incontra la Steineriana in due punti riuniti in ${\displaystyle o}$.

Ma se si considera la retta ${\displaystyle {\rm {P}}}$ polare di ${\displaystyle p}$, le curve prime polari dei suoi punti passano tutte per ${\displaystyle p}$, e fra esse ve n’ha soltanto ${\displaystyle 3(n-2)^{2}-3}$, che siano dotate di un punto doppio (88, c). Cioè il punto ${\displaystyle o}$ rappresenta tre intersezioni della retta ${\displaystyle {\rm {P}}}$ colla Steineriana; ed è evidente che tale proprietà è esclusiva alla retta ${\displaystyle {\rm {P}}}$.

Dunque: se una prima polare ha una cuspide ${\displaystyle p}$, il suo polo ${\displaystyle o}$ è una cuspide della Steineriana, la quale ha ivi per tangente la retta polare di ${\displaystyle p}$^[2].

Ed in causa del numero delle cuspidi della Steineriana (118, d):

In una rete geometrica dell’ordine ${\displaystyle n-1}$, vi sono ${\displaystyle 12(n-2)(n-3)}$ curve, ciascuna delle quali è dotata di una cuspide.

122. Una curva ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ d’ordine ${\displaystyle m}$ incontri l’Hessiana in ${\displaystyle 3m(n-2)}$ punti; le rette polari di questi punti saranno tangenti sì all’${\displaystyle (n-1)}$^ma polare di ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ (103, e) che alla Steineriana (118, a). Sia ${\displaystyle p}$ uno di quei punti, ed ${\displaystyle o}$ quello in cui la Steineriana è toccata dalla retta polare di ${\displaystyle p}$. La prima polare di ${\displaystyle o}$ ha un punto doppio in ${\displaystyle p}$, onde ha ivi due punti coincidenti comuni con ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$; dunque, siccome l’${\displaystyle (n-1)}$^ma polare di ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ è il luogo dei poli delle prime polari tangenti a ${\displaystyle {\rm {C_{m}}}}$ (103), così ${\displaystyle o}$ è un punto di questa ${\displaystyle (n-1)}$^ma polare. Ossia:

L’${\displaystyle (n-1)}$ma polare di una data curva d’ordine ${\displaystyle m}$ tocca la Steineriana in ${\displaystyle 3m(n-2)}$

1. ↑ Steiner, l. c. p. 4-5.
2. ↑ Steiner enunciò che la Steineriana (da lui chiamata Kerncurve) ha ${\displaystyle 12(n-2)(n-3)}$ cuspidi (G. di Grelle, t. 47, p. 4). Poi Clebsch, avendo trovato lo stesso numero di polari cuspidate, sospettò che i poli di queste fossero le cuspidi della Steineriana, e dimostrò questa proprietà pel caso di ${\displaystyle n=4}$ (Ueber Curven vierter Ordnung, Giornale Crelle-Borchardt, t. 59, Berlino 1861, p. 131).