[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:446|3|0]]

Ai punti ${\displaystyle oo'}$ se ne possono evidentemente sostituire due altri qualunque presi in ${\displaystyle {\rm {R}}}$, perchè le ${\displaystyle (n-2)^{2}}$ intersezioni delle seconde polari miste di ${\displaystyle oi}$ e di ${\displaystyle o'i}$ altro non sono che i poli di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ rispetto alla prima polare di ${\displaystyle i}$ (77). Donde si ricava quest’altra definizione (86):

La seconda polare di una retta è il luogo de’ poli di questa retta rispetto alla prima polare di un punto variabile nella retta medesima^[1].

(a) Questa definizione conduce spontaneamente ad un’importante generalizzazione. Date due rette ${\displaystyle {\rm {R,\,R'}}}$, quale è il luogo dei poli dell’una rispetto alla prima polare di un punto variabile nell’altra? Fissati ad arbitrio due punti ${\displaystyle oo'}$ in ${\displaystyle {\rm {R'}}}$, e preso un punto qualunque ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle {\rm {R}}}$, le seconde polari miste de’ punti ${\displaystyle oi}$ ed ${\displaystyle o'i}$ si segano in ${\displaystyle (n-2)^{2}}$ punti, che sono i poli di ${\displaystyle {\rm {R'}}}$ rispetto alla prima polare di ${\displaystyle i}$. Variando ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle {\rm {R}}}$, quelle seconde polari miste generano due fasci projettivi dell’ordine ${\displaystyle n-2}$; ed il luogo de’ punti ove si segano due curve corrispondenti è una linea dell’ordine ${\displaystyle 2(n-2)}$, la quale è evidentemente la richiesta. Ad essa può darsi il nome di seconda polare mista delle rette ${\displaystyle {\rm {RR'}}}$, per distinguerla dalla seconda polare pura di ${\displaystyle {\rm {R}}}$, superiormente definita.

(b) Come la seconda polare pura di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ è il luogo di un punto la cui conica polare è toccata da ${\displaystyle {\rm {R}}}$, così la seconda polare mista di due rette ${\displaystyle {\rm {RR'}}}$ è il luogo di un punto rispetto alla conica polare del quale le rette ${\displaystyle {\rm {RR'}}}$ siano coniugate. Infatti: se la seconda polare mista di ${\displaystyle oi}$ e quella di ${\displaystyle o'i}$ passano per un punto ${\displaystyle a}$, la retta polare di ${\displaystyle i}$ rispetto alla conica polare di ${\displaystyle a}$ passa per ${\displaystyle o}$ e per ${\displaystyle o'}$ (123), cioè ${\displaystyle i}$ è il polo di ${\displaystyle {\rm {R'}}}$ rispetto a quella conica, c. d. d.

(c) Se nella precedente ricerca (a) si pone il punto ${\displaystyle i}$ all’intersezione delle rette ${\displaystyle {\rm {RR'}}}$, troviamo che la seconda polare mista delle rette medesime passa per gli ${\displaystyle (n-2)^{2}}$ punti comuni alla seconda polare mista de’ punti ${\displaystyle oi}$ ed alla seconda polare mista de’ punti ${\displaystyle o'i}$, ossia (124) per gli ${\displaystyle (n-2)^{2}}$ punti in cui la seconda polare pura del punto ${\displaystyle i}$ tocca la seconda polare pura della retta ${\displaystyle {\rm {R'}}}$. Dunque:

La seconda polare pura del punto comune a due rette tocca le seconde polari pure di queste, ciascuna in ${\displaystyle (n-2)^{2}}$ punti. I ${\displaystyle 2(n-2)^{2}}$ punti di contatto giacciono tutti nella seconda polare mista delle rette medesime.

126. Se la seconda polare mista di due rette ${\displaystyle {\rm {RR'}}}$, concorrenti in un dato punto ${\displaystyle i}$, dee passare per un altro punto pur dato ${\displaystyle o}$, è necessario e sufficiente (125, b) che quelle due rette siano coniugate rispetto alla conica polare di ${\displaystyle o}$, cioè ch’esse formino un sistema armonico colle rette ${\displaystyle {\rm {EF}}}$ che da ${\displaystyle i}$ si possono condurre a toccare quella conica. Ossia, se le rette ${\displaystyle {\rm {RR'EF}}}$ formano un fascio armonico, la seconda polare mista di ${\displaystyle {\rm {RR'}}}$ passa pei poli di tutte le coniche polari tangenti alle rette ${\displaystyle {\rm {EF}}}$. Ora, se una conica

1. ↑ Salmon, Higher plane curves, p. 152.