[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:448|3|0]]dell’ordine ${\displaystyle 4(n-2)}$. Questa linea è composta dell’Hessiana e della seconda polare pura del punto ${\displaystyle i}$ (125, c); e gli ${\displaystyle 8(n-2)^{2}}$ punti, in cui le seconde polari pure di due fra quelle rette toccano l’Hessiana e la seconda polare pura di ${\displaystyle i}$, giacciono tutti nella seconda polare mista delle medesime due rette.

(a) Si è dimostrato che la seconda polare (pura) di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ tocca l’Hessiana in ${\displaystyle p}$; inoltre anche la seconda polare (pura) di ${\displaystyle o}$ passa per ${\displaystyle p}$, giacchè questo punto è doppio per la prima polare di ${\displaystyle o}$. D’altra parte la seconda polare (pura) di ${\displaystyle o}$ e la seconda polare (pura) di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ (retta passante per ${\displaystyle o}$) si toccano ovunque s’incontrano (124); dunque:

L’Hessiana, in un suo punto qualunque, è tangente alla seconda polare (pura) del corrispondente punto della Steineriana.

(b) Da ciò segue che la tangente in ${\displaystyle p}$ all’Hessiana è la coniugata armonica di ${\displaystyle po}$ rispetto alle due rette che toccano la prima polare di ${\displaystyle o}$ nel punto doppio ${\displaystyle p}$ (74, c); e se la prima polare di ${\displaystyle o}$ ha una cuspide in ${\displaystyle p}$, la tangente cuspidale tocca ivi anche l’Hessiana.

Analogamente, la tangente in ${\displaystyle o}$ alla Steineriana è la coniugata armonica di ${\displaystyle op}$ rispetto alle due rette che formano la conica polare di ${\displaystyle p}$.

(c) Se si considera una seconda retta ${\displaystyle {\rm {R'}}}$ passante per ${\displaystyle o}$, la seconda polare pura di ${\displaystyle {\rm {R'}}}$ toccherà anch’essa l’Hessiana in ${\displaystyle p}$. Viceversa: le rette le cui seconde polari pure passano per ${\displaystyle p}$ sono le tangenti della conica polare di ${\displaystyle p}$ (104, g); ma questa conica si risolve in due rette passanti per ${\displaystyle o}$; dunque le rette, le cui seconde polari pure contengono il punto ${\displaystyle p}$, passano tutte per ${\displaystyle o}$.

Ossia, l’Hessiana è toccata in ${\displaystyle p}$ dalla seconda polare pura di ${\displaystyle o}$ e dalle seconde polari pure e miste di tutte le rette passanti per ${\displaystyle o}$.

(d) Siccome i contatti dell’Hessiana colla seconda polare (pura) di una retta ${\displaystyle {\rm {R}}}$ corrispondono alle intersezioni di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ colla Steineriana, così, se ${\displaystyle {\rm {R}}}$ tocca questa curva in un punto ${\displaystyle o}$, la seconda polare (pura) di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ avrà un contatto quadripunto coll’Hessiana nel corrispondente punto ${\displaystyle p}$, e la toccherà semplicemente in ${\displaystyle 3(n-2)^{2}-2}$ altri punti.

Le rette tangenti alla conica polare d’un punto ${\displaystyle i}$ sono le sole (104, g), a cui spettino seconde polari pure passanti per ${\displaystyle i}$. Ma quella conica ha ${\displaystyle 6(n-1)(n-2)}$ tangenti comuni colla Steineriana; dunque la serie formata dalle seconde polari pure (di rette) aventi un contatto quadripunto coll’Hessiana è dell’indice ${\displaystyle 6(n-1)(n-2)}$.

Se ${\displaystyle {\rm {R}}}$ è una tangente doppia della Steineriana, la seconda polare (pura) di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ avrà coll’Hessiana due contatti quadripunti e ${\displaystyle 3(n-2)^{2}-4}$ contatti bipunti.

E se ${\displaystyle {\rm {R}}}$ è una tangente stazionaria della Steineriana, la seconda polare (pura) di ${\displaystyle {\rm {R}}}$ avrà coll’Hessiana un contatto sipunto, oltre a ${\displaystyle 3(n-2)^{2}-3}$ contatti bipunti.

128. Quali sono le rette le cui seconde polari (pure) hanno un punto doppio? Siccome la seconda polare (pura) di una retta ${\displaystyle {\rm {R}}}$ è il luogo dei poli delle coniche polari tangenti ad ${\displaystyle {\rm {R}}}$, così se quella seconda polare ha un punto doppio, è necessario che vi