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Una tangente qualunque della Cayleyana sega l’Hessiana in due punti corrispondenti, cioè aventi lo stesso tangenziale, ed in un terzo punto che è il coniugato armonico del punto di contatto della Cayleyana rispetto ai primi due (135, c).

In un punto qualunque ${\displaystyle o}$ dell’Hessiana concorrono tre tangenti della Cayleyana; due di esse sono corrispondenti, cioè la retta che ne unisce i punti di contatto è una tangente della Cayleyana; la terza poi è la coniugata armonica, rispetto alle due prime, della tangente all’Hessiana in ${\displaystyle o}$ (135, a).

Da questa perfetta reciprocità segue che le proprietà della Cayleyana si potranno conchiudere da quelle dell’Hessiana e viceversa. Per esempio:

I nove punti ${\displaystyle i}$, ne’ quali l’Hessiana è toccata dalle sue tangenti stazionarie, sono i flessi anche delle infinite curve di terzo ordine passanti pei medesimi.	Le nove rette ${\displaystyle {\rm {I}}}$ tangenti alla Cayleyana nelle cuspidi, sono tangenti cuspidali per tutte le infinite curve di terza classe ch’esse toccano.
Al fascio di queste curve appartengono quattro trilateri, cioè i nove flessi sono distribuiti a tre a tre su dodici rette ${\displaystyle {\rm {R}}}$, delle quali in ogni punto ${\displaystyle i}$ ne concorrono quattro.	Alla serie di queste curve appartengono quattro triangoli, cioè le nove rette ${\displaystyle {\rm {I}}}$ concorrono a tre a tre in dodici punti ${\displaystyle r}$, ciascuna di quelle contenendo quattro di questi.
I vertici dei quattro trilateri sono i dodici punti ${\displaystyle r}$[1].	I lati dei quattro triangoli sono le dodici rette ${\displaystyle {\rm {R}}}$.
Fra le curve di terz’ordine aventi i flessi in comune coll’Hessiana v’è anche la cubica fondamentale ${\displaystyle {\rm {C_{3}}}}$, rispetto alla quale l’Hessiana è il luogo di un punto che abbia per conica polare un pajo di rette, e la Cayleyana è l’inviluppo di queste rette.	Fra le curve di terza classe aventi per tangenti cuspidali le rette ${\displaystyle {\rm {I}}}$ ve n’ha una ${\displaystyle {\rm {K_{3}}}}$[2], rispetto alla quale la Cayleyana è l’inviluppo di una retta il cui primo inviluppo polare (82) sia una coppia di punti, e l’Hessiana è il luogo di questi punti.
Le tangenti stazionarie ${\displaystyle {\rm {I'}}}$ della cubica ${\displaystyle {\rm {C_{3}}}}$ toccano l’Hessiana e la Cayleyana ne’ punti ${\displaystyle i'}$ comuni a queste due curve.	Le cuspidi della curva ${\displaystyle {\rm {K_{3}}}}$ sono i nove punti ${\displaystyle i'}$ ove l’Hessiana e la Cayleyana si toccano.

142. Dato un fascio di cubiche, una trasversale qualunque le incontra in terne di punti formanti un’involuzione di terzo grado, e ne’ punti doppi di questa la trasversale tocca quattro cubiche del fascio (49). Se le cubiche sono sizigetiche (ossia se hanno i nove flessi comuni) e se la trasversale è la polare armonica ${\displaystyle {\rm {I}}}$ di un flesso ${\displaystyle i}$, le tre intersezioni di una qualunque fra quelle cubiche sono i punti di contatto fra essa e

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1. ↑ Questa proprietà sarà dimostrata fra poco (142).
2. ↑ È desiderabile una definizione di questa curva come inviluppo di una retta variabile.