[[Categoria:Pagine che usano RigaIntestazione|Opere matematiche (Cremona) I.djvu{{padleft:466|3|0]]

ove ${\displaystyle {\rm {A,A',B,\dots }}}$ sono coefficienti costanti. Il punto ${\displaystyle s}$ corrispondente ad ${\displaystyle r}$ (143) suppongasi a distanza infinita, com’è lecito fare senza sminuire la generalità dell’indagine; perchè trattandosi qui di relazioni fra rapporti anarmonici, possiamo ai punti della retta ${\displaystyle {\rm {I}}}$ sostituire le loro projezioni fatte da un centro arbitrario sopra una retta parallela al raggio che passa per ${\displaystyle s}$ (8).

Ciò premesso, siccome i tre valori di ${\displaystyle rm}$ corrispondenti ad ${\displaystyle rn=rs=\infty }$ devono essere ${\displaystyle rm=rs}$, ${\displaystyle rm'=0}$, ${\displaystyle rm''=0}$, così se ne trae ${\displaystyle {\rm {A=0}}}$, ${\displaystyle {\rm {C=0}}}$, ${\displaystyle {\rm {D=0}}}$.

D’altronde ${\displaystyle s}$ è un punto della retta polare di ${\displaystyle r}$ rispetto a qualunque cubica del fascio (142), quindi (11):

ma ${\displaystyle rs}$ è infinito, dunque ${\displaystyle {\rm {C'=0}}}$. Così l’equazione 1) diviene:

2)	${\displaystyle \mathrm {A} '.{\overline {rm}}^{3}+3(\mathrm {B} .rn+\mathrm {B} '){\overline {rm}}^{2}+\mathrm {D} '=0}$.

La condizione affinchè la 2), considerando ${\displaystyle rm}$ come incognita, abbia due radici eguali è:

3)	${\displaystyle \mathrm {A'^{2}D} '+4(\mathrm {B} .rn+\mathrm {B} ')^{3}=0}$,

cioè questa equazione del terzo grado rispetto ad ${\displaystyle rn}$ darà quei tre punti ${\displaystyle n(s_{1}s_{2}s_{3})}$ a ciascuno dei quali, come ad ${\displaystyle s}$, corrispondono due punti ${\displaystyle m}$ coincidenti ${\displaystyle (r_{1}r_{2}r_{3})}$.

Se nella stessa equazione 2) si fa ${\displaystyle rm=rn}$, ottiensi:

4)	${\displaystyle (\mathrm {A'+3B} ){\overline {rn}}^{3}+3\mathrm {B} '.{\overline {rn}}^{2}+\mathrm {D} '=0}$,

ossia ciascuno de’ punti ${\displaystyle n}$ dati dalla 4) coincide con uno de’ corrispondenti punti ${\displaystyle m}$. Ma i punti ${\displaystyle n}$ dotati di tale proprietà sono (oltre ad ${\displaystyle s}$) gli stessi punti ${\displaystyle s_{1}s_{2}s_{3}}$ dati dalla 3); dunque le equazioni 3), 4), dovendo ammettere le stesse soluzioni, avranno i coefficienti proporzionali.

L’equazione 4) non contiene l’${\displaystyle rn}$ lineare; onde eguagliando a zero il coefficiente di ${\displaystyle rn}$ nella 3), si avrà ${\displaystyle {\rm {{BB'}^{2}=0}}}$, ossia ${\displaystyle {\rm {B'=0}}}$; perchè il porre ${\displaystyle {\rm {B=0}}}$ farebbe scomparire il segmento ${\displaystyle rn}$ dalla 2). Quindi le 3), 4) divengono:

donde eliminando ${\displaystyle rn}$ si ha:

5)	${\displaystyle {\rm {(A'-B)(A'+2B)^{2}=0}}}$.

Posto ${\displaystyle {\rm {A'=B}}}$ e per brevità ${\displaystyle \mathrm {D'} =-4h^{3}\mathrm {B} }$, ovvero posto ${\displaystyle {\rm {A'=-2B}}}$ e per brevità